Induktion: 3^n-3 ist durch 6 teilbar

23.11.2007, 13:28	st4ckola	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion: 3^n-3 ist durch 6 teilbar Hallo zusammen, habe etwas Schwierigkeiten bei einer Induktionsaufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion: $\begin{eqnarray} 3^{n} - 3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist durch 6 teilbar. Soweit bin ich bereits: $\begin{eqnarray} 3^{n} - 3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist durch 6 teilbar. $\begin{eqnarray} 6t=3^{n} - 3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N ; t \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray}$ I) Die Behauptung gilt für n=1, da $\begin{eqnarray} 3^{1}-3=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0=6 \times 0 \end{eqnarray}$ II) II.a) $\begin{eqnarray} 3^{n}-3=6\times t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in \mathbb N \end{eqnarray}$ II.b) Wenn die Behauptung für n gilt, so gilt sie auch für n+1 $\begin{eqnarray} 3^{n+1}-3=6 \times s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^{n+1}-3 \Leftrightarrow 3 \times 3^{n}-3 \end{eqnarray}$ Jetzt sieht es ja so aus, dass der Ausdruck $\begin{eqnarray} 3 \times 3^{n}-3 = 6s \end{eqnarray}$ werden muss. Eine Tutorin gab mir den Tipp eine Null zu addieren (in welcher Form auch immer). Hilft mir aber grade nicht viel weiter.
23.11.2007, 13:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 3 \cdot 3^n - 3 = 3 \cdot (3^n-3) + 6 \qed \end{eqnarray}$ aber ohne induktion funktioniert das eigentlich noch einfacher: $\begin{eqnarray} 3^n-3 = 3(3^{n-1}-1) \end{eqnarray}$ die klammer ist gerade. fertig.

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