induk. ungl.

23.11.2007, 14:40

haggi

induk. ungl.

Hallo zusammen,

und zwar häng ich grad an einer ganz einfachen induktion einer ungleichung?

zz: 1 + x*n <= (x+1)^n

Beweis durch Induktion
IA: sei n=0, dann

1+0*n = 1 <= 1 = (x+1)^0

IS: Die Unleichung sei für n-1 bereits beweisen und wir zeigen
sie für n, also

1+(n-1)*x <= (x+1)^(n-1) (IV)

1+n*x-x+x <= (x+1)^(n-1) *(x+1)

1 + x*n <= (x+1)^n

also ich komm nicht drauf, ich hab schon x mal angefanen aber schreibe dann doch immer wieder das hin smile

23.11.2007, 14:43

tmo

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setze wenigstens klammern, wenn du den formeleditor nicht benutzt.

deine IV ist:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n-1} \geq 1+x(n-1) \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} = (1+x)^{n-1} (1+x) \end{eqnarray*}$

wende nun die induktionsvorraussetzung an.

PS: hat das einen besonderen grund, warum du von n-1 auf n schließt, statt von n auf n+1 ? ist zwar letztendlich egal, aber letzteres ist doch irgendwie weiter verbreitet.

23.11.2007, 14:43

brain man

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Eigentlich (!!!) schließt man bei der VI folgendermaßen :

$\begin{eqnarray*} n \to n+1 \end{eqnarray*}$

@ AD : Na gut, das 2. Argument überzeugt. Augenzwinkern

23.11.2007, 14:45

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@brain man

Nicht so dogmatisch: $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ ist gleichwertig und in vielen Fällen sogar günstiger, vom "schreibtechnischen" Standpunkt aus. Augenzwinkern

23.11.2007, 14:46

klarsoweit

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RE: induk. ungl.

Zitat:

Original von haggi
1+(n-1)*x <= (x+1)^(n-1) (IV)

1+n*x-x+x <= (x+1)^(n-1) *(x+1)

Im Prinzip ist deine Beweisführung ok. Du solltest nur begründen, warum die zweite Ungleichung aus der vorangegangenen folgt.

23.11.2007, 15:08

haggi

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(x+1)^n = (x+1)^(n-1)*(x+1) <=1+x*(n-1)+x = 1+x*n
und das folgt naja aus der IV, aber ist es damit dann gezeigt oder?

23.11.2007, 15:25

haggi

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Also nochmal
n e N
x e R und x > -1

zz: $\begin{eqnarray*} 1+xn \leq (x+1)^n \end{eqnarray*}$

Bew. d. vollst. Ind.

IA: sei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} 1+0x = 1 \leq 1 = (x+1)^0 [latex] IS: die aussage sei für [latex]n-1 \end{eqnarray*}$ bereits bewiesen, wir zeigen sie für n:

$\begin{eqnarray*} (x+1)^n = (x+1)^{n-1} \geq 1+x(n-1) +x = 1+xn \end{eqnarray*}$

ist das so oke, damit gezeigt?

23.11.2007, 17:29

klarsoweit

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Ein Thread reicht. Hier geht es weiter:

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induk. ungl.

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