Flächenberechnung zwischen 2 Graphen UND 2 Geraden

23.11.2007, 17:05

Grapefruit

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Flächenberechnung zwischen 2 Graphen UND 2 Geraden

Hallo zusammen,

Ich hab ein Verständnissproblem. Folgende Aufgabenstellung:

Zitat:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f und g sowie den Geraden mit den Gleichungen $\begin{eqnarray*} x = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = b \end{eqnarray*}$ begrenzt wird.
a)
$\begin{eqnarray*} && f(x) = x^2 \\ && g(x) = -x^2+4 \\ && a = -3 \\ && b = 3 \\ \end{eqnarray*}$

Da ich mir das schwer vorstellen konnte, habe ich mir eine Zeichnung erstellt, auch wenn ich es lieber ohne Zeichnung lösen würde, da diese Hilfsmittel in der KLausur doch viel Zeit beanspruchen. Zeichnug hänge ich an.

Nun meine Fragen.
a und b sind doch Senkrechten, oder?
Gemeint ist die Fläche in der Aufgabenstellung, die ich schraffiert habe, oder?
Wenn das so alles richtig ist, wie von mir beschrieben, wäre dann folgener Lösungsansatz richtig?

Schnittpunkte der Graphen ermitteln:
$\begin{eqnarray*} &&x^2 = -x^2+4 \\ && x_1 = \sqrt{2} \\ && x_2 = -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Nullstellen g(x)
$\begin{eqnarray*} && 0 = -x^2 + 4 \\ && x_1 = 2 \\ && x_2 = -2 \end{eqnarray*}$

Berechnung der Fläche durch Aufteilen in Teilflächen
$\begin{eqnarray*} && + \int_{-3}^{-\sqrt{2} }~x^2~dx + \int_{\sqrt{2} }^{3}~x^2~dx \\ && -[\int_{-2}^{-\sqrt{2} }~-x^2+4~dx + \int_{\sqrt{2} }^{2}~-x^2+4~dx] \\ && + \int_{-3}^{2}~-x^2+4~dx + \int_{2}^{3}~-x^2+4~dx \end{eqnarray*}$
Zur Erklärung: Die erste Zeile beschreibt die Flächen, die oberhalb der x-Achse von $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ eingeschlossen werden. Die zweite Zeile beschreibt die Flächen, die außerhalb der Grenzen liegen und somit von der ersten Zeile abgezogen werden müssen. Die dritte Zeile beschreibt die Flächen, die unterhalb der x-Achse von $\begin{eqnarray*} g(x) = -x^2+4 \end{eqnarray*}$ eingeschlossen werden. So nun Stammfunktionen bilden und das müsste es ja dann gewesen sein, oder?

Wir haben gerade erst mit der Integralrechung angefangen und ich dachte eigentlich ich habe das verstanden, aber die Aufgabenstellung finde ich nicht gut gewählt. Es gibt sicher auch einen anderen Lösungsweg, der einfacher ist. Es wäre schön, wenn mir jemand diesen aufzeigen könnte.

Wer bis hier gelesen hat dem danke ich für seine Geduld. Gott

Gott

Big Laugh

23.11.2007, 17:13

tigerbine

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Zu berechnende Fläche ist richtig eingezeichnet. Eine Skizze wäre hier dennoch anzuraten, mit einem Parabellinieal auch nicht wirklich aufwendig. Denn nur so wird einem in der Hektik der prüfung klar, worauf beim Integrieren zu achten ist.

23.11.2007, 17:17

Grapefruit

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Sind meine Integrale denn richtig?

23.11.2007, 17:26

mYthos

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Sieht so aus. Rechne mal weiter ...
Übrigens kannst du infolge der Symmetrie bezüglich der y-Achse auch nur mit den positiven Grenzen (von Null an) arbeiten und diese Fläche dann verdoppeln.

Im Allgemeinen gilt: Die Fläche zwischen zwei Kurven erhält man schneller und bequemer, wenn man deren Differenz zwischen ihren gemeinsamen Schnittpunkten integriert ...

mY+

23.11.2007, 17:27

tigerbine

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Nun rechne ich es einmal "anders". Dabei verschiebe ich die Graphen (geht immer) und nutze dann die Symmetrie der Figur( speziell für diese Aufgabe)

$\begin{eqnarray*} A &&= \begin{vmatrix} \int_{-3}^{-\sqrt{2}}~x^2-2~dx \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \int_{-3}^{-\sqrt{2}}~-x^2+2~dx \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \int_{\sqrt{2}}^3~x^2-2~dx \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \int_{\sqrt{2}}^3~-x^2+2~dx \end{vmatrix} = \\&&= 4 \cdot \begin{vmatrix} \int_{\sqrt{2}}^3~x^2-2~dx \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} [\frac{1}{3}x^3-2x]_{\sqrt{2}}^3\end{vmatrix}=\\&& = 4\cdot \begin{vmatrix} 3+\frac{4}{3}\cdot \sqrt{2}\end{vmatrix} \\&& \approx 19.54 \end{eqnarray*}$

mythos, was hast Du raus? Wink

Wink

23.11.2007, 17:37

Grapefruit

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Also gut, wenn ich meine Integrale ausrechne komme ich auf 19,44 für den Flächeninhalt. Das ist ja ungefähr das was du hast.

Zitat:

Im Allgemeinen gilt: Die Fläche zwischen zwei Kurven erhält man schneller und bequemer, wenn man deren Differenz zwischen ihren gemeinsamen Schnittpunkten integriert ...

Aber das gilt doch nur für die Fläche ZWISCHEN zwei Funktionen, oder? Stichwort Differenzfunktion, die in diesem Fall wäre:
$\begin{eqnarray*} && d(x) = g(x) - f(x) \\ && d(x) = -x^2+ 4 - x^2 \\ && d(x) = -2x^2 + 4 \end{eqnarray*}$

Mein gesuchter Flächeninhalt liegt aber doch außerhalb der Funktionen. verwirrt

verwirrt

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23.11.2007, 17:52

Grapefruit

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Ich erzähl ja nen Quatsch... unglücklich

unglücklich

Die Fläche liegt ja trotzdem zwischen den Funktionen.

$\begin{eqnarray*} && \int_{-3}^{-\sqrt{2} }~-2x^2+4~dx + \int_{\sqrt{2} }^{3}~-2x^2+4~dx \\ && = -9,771236 + 9,771236 \\ && = 19,54 \end{eqnarray*}$

Eine letzte Frage sei mir gestattet. Wie kann ich begründen, dass der erste Wert auch positiv sein muss. Einfach sagen, dass es sich um einen Flächeninhalt handelt?

23.11.2007, 18:36

mYthos

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@bine

.. war kurz auswärts; ja stimmt, A = 19,542472332656506926942339862452 Big Laugh

Big Laugh

Ich sag's mal, wie schnell das geht:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{2} = \ldots = \left[\frac{2x^3}{3} - 4x\right]_{\sqrt2}^3 = 18 - 12 + 4 \sqrt2 - \frac{4 \sqrt2}{3} = 6 + \frac{8 \sqrt2}{3} = 9,771236 ... \end{eqnarray*}$

@Grape..

Ja, der orientierte Flächeninhalt ist zwar negativ, aber davon kannst du einfach den Betrag nehmen, das ist dann der absolute Flächeninhalt.

mY+

23.11.2007, 19:03

Grapefruit

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Ich danke euch schonmal für die Antworten. Gott

Gott

Freude

smile

Ich kann deine letzte Umformung nicht ganz nachvollziehen, warscheinlich wegen fehlendem Grundwissen. Ich hätte das nun so weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} && \left[-\frac{2}{3}x^3+4x\right]_{-3}^{-\sqrt{2}} + \left[-\frac{2}{3}x^3+4x\right]_{\sqrt{2}}^3 \\ && = -9,771236 + 9,771236 \\ && = 19,54 \end{eqnarray*}$

Die Zeile mit dem Einsetzen habe ich mal weggelassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, führt ja zum selben Ergebniss. Ich denke ich habe das Verfahren grundsätzlich verstanden. Wie kann ich eigentlich beim Bilden der Differenzfunktion herausinden, welche Funktion ich von welcher abziehen muss? In dieser Aufgabe war es ja nach der Skizze her eindeutig, aber wie kann ich es rechnerisch herausfinden?

23.11.2007, 19:28

mYthos

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Ist ganz einfach:
In der eckigen Klammer steht das Integral der Differenz $\begin{eqnarray*} (2x^2 - 4) \end{eqnarray*}$ der beiden Funktionen. Welche du von welcher subtrahierst ist letztendlich egal, solange du danach den Betrag nimmst. Aber durch Einsetzen eines x-Wertes in beide Funktionen im Bereich kannst du ja sofort feststellen, welcher Funktionswert größer ist.

mY+

23.11.2007, 19:40

Grapefruit

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Zitat:

Aber durch Einsetzen eines x-Wertes in beide Funktionen im Bereich kannst du ja sofort feststellen, welcher Funktionswert größer ist.

Manchmal ist es so einfach. Hammer

Hammer

Vielen, vielen Dank. Ich kann jetzt beruhigt ins Wochenende starten und ein schönes Weizenbierchen trinken. Prost

Prost

30.11.2007, 12:10

Grapefruit

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So, hier mal ein kurzer Nachtrag. Nachdem ich Einsicht in das Lösungsbuch hatte muss ich euch leider sagen, dass die Aufagenstellung eine andere Fläche berechnet haben wollte. Diese habe ich im Anhang mal dargestellt. Wenn von begrenzt gesprochen wird würde ich die von uns berechnete Fläche nehmen und nicht diese. Ich finde die Aufgabenstellung unglücklich gewählt.

Hier die Kurzlösung:

$\begin{eqnarray*} A &&= 2 \cdot (\int_{0}^{\sqrt{2} }~g(x)-f(x)~dx + \int_{\sqrt{2}}^{3}~f(x)-g(x)~dx ) \\&&= 2 \cdot 6 \\&&= 12 \end{eqnarray*}$

Das ist auch das Ergebniss, welches im Lösungsbuch angegeben ist.

01.12.2007, 01:56

mYthos

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Das Lösungsbuch hat die Lösung korrekt, wenn man sich die Angabe von Anfang an nochmals ansieht: Es ist die Gesamtfläche zwischen den Kurven und den senkrechten Geraden gefragt, und da gehört die mittlere Fläche auch dazu. Hätte man sicher mit dem Ausdruck "Gesamtfläche" näher präzisieren können. Na ja. Wir sind einfach von der von dir schraffierten Fläche ausgegangen, und das war in diesem Falle nicht im Sinne des Aufgabenstellers.

Wichtiger erscheint mir allerdings, dass du den Sinn und die Vorgangsweise bei der Lösung verstanden hast. Der Weg ist das Ziel.

mY+

01.12.2007, 15:38

Grapefruit

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Ja, den Sinn und die Vorgehensweise habe ich verstanden. Ich mache noch ein paar Aufgaben zur Übung, um sicherer zu werden. Siehe auch den anderen Thread.

01.12.2007, 22:33

tigerbine

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Sicher ist der "Weg" hier das Hauptziel. Aber wie würde man den
formulieren, wenn wir die von uns berechnete Flächen haben wollten? In der Aufgabe stand:

Zitat:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f und g sowie den Geraden mit den Gleichungen und begrenzt wird.

Da hatte ich mich durch die Skizze verleiten lassen und es als richtig angesehen, da ich den Denkfehler: "Fläche zwischen 2x Graph und 1x Gerade" gemacht hatte. Da im Text aber "Geraden" steht, ist diese Sichtweise gar nicht möglich. Hammer

Hammer

LG,
tigerbine

02.03.2012, 15:39

Fabregas_4

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Das Thema ist nun zwar schon ein paahr Jährchen alt, jedoch bin ich bei meiner Hausaufgabe, die genau aus dieser Aufgabe besteht, auf die Seite hier gestoßen.

Gerade weil ich nicht weiß/wusste, welche Fläche berechnet werden soll, hab ich mal im Internet gesucht. Ich habe auch alles soweit verstanden und nachvollzogen, was ihr hier geschrieben habt. Auch hatte ich beide Varianten welche Fläche nun gemeint ist im Kopf,wollte dann aber doch auf Nummer sicher gehen.

Nach Berechnung der ersten Fläche seid ihr ja auf das Ergebnis 19,54... gekommen, nun habe ich nachdem gesagt wurde, dass die Lösung 12 ist mit der besagten Fläche, zunächst versucht selber zu rechnen,ist auch alles recht gut gegangen. Ich komme aber auf das Ergebnis A = 27,08 (natürlich ein Näherungswert)
Das Ergebnis muss aber doch auch größer sein als 19,54 weil ja mehr Fläche berechnet wird,oder? Kann ja auch sein dass ich ein krassen Denkfehler habe, aber auch mit meinem GTR komme ich auf so ein Ergebnis. Ich vermute daher, dass das Lösungsbuch einen Vorzeichenfehler enthält, bei dem sich einzelnen Terme wie $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} 2^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ wegkürzen und dann nur noch 6 überbleibt. Klar dachte ich erst, ich hätte einen Fehler gemacht, doch nachdem ich genau den Lösungsweg der ersten Zeile des Lösungsbuches genommen habe, fielen die Terme nicht weg, da sie das gleiche Vorzeichen hatten.

Hoffentlich meldet sich nochmal jemand und kann mir sagen ob ich nicht vielleicht doch einen Fehler gemacht habe smile

smile

02.03.2012, 22:58

mYthos

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Du hast ganz Recht, 27,08 FE ist das richtige Ergebnis.
Im Lösungsbuch wurde augenscheinlich beim Addieren der Fläche ein Mal NICHT der Betrag, sondern der orientierte Flächeninhalt einer Teilfläche verwendet (ich hatte dies damals nicht genau überprüft), dort war offenbar dann ein Vorzeichen unrichtig.

Da sieht man, wie wichtig es ist, die Funktionen nur von Schnittpunkt zu Schnittpunkt anstatt über die Schnittstellen hinweg zu integrieren!

Die damals von mir berechnete Teilfläche (Wurzel(2) bis 3) von rd. 9,77 stimmt jedoch, dazu addieren wir nun die Fläche zwischen 0 und Wurzel(2), diese ist rd. 3,77, somit ergibt sich für die halbe Gesamtfläche rd. 13,54 FE. Diese mal 2 --> 27,08 FE.

Nun sollte es passen!

mY+

06.03.2012, 19:31

Fabregas_4

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Bei der Besprechung der Hausaufgabe hat unser Lehrer uns gesagt,dass nur die beiden Flächen die an die beiden Geraden grenzen berechnet werden müssen,also war das erste Ergebnis mit A = 19,54 richtig.

Die Aufgabenstellung war echt schlecht gewählt!

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