Faltung von f(t) mit sich selbst

20.04.2005, 09:59

christian.asd

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Faltung von f(t) mit sich selbst

Guten Tag,

ich heisse Christian und das ist mein erster Thread hier.
Wir sollen zu Freitag folgende Aufgabe lösen und ich hoffe, ihr könnt mir da ein wenig helfen. Sind ja genug Cracks hier unterwegs.

Also (mal schauen ob ich´s mit den Formeln hinkriege):

gegeben sei:
$\begin{eqnarray*} f(t)=1~fuer~0 \leq t < \frac{1}{2} ~~und ~~0 ~ fuer~ \frac{1}{2} \leq t < 1 \end{eqnarray*}$
Periode T=1; f(t) ist periodisch fortgesetzt

Aufgabe:
Berechnen Sie die periodische Faltung $\begin{eqnarray*} x(t)=(f\ast f)(t) \end{eqnarray*}$ der Funktion f(t) mit sich selbst gemäß der Definition der Faltung als Integral. Stellen Sie x(t) für einige Perioden graphisch dar.

Definition:
$\begin{eqnarray*} (f\ast g)(t)=\frac{1}{T}\int\limits_0^T f(\tau)\cdot g(t-\tau) d\tau \end{eqnarray*}$

also einsetzen:
$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{1}{1}\int\limits_0^1 f(\tau)\cdot f(t-\tau) d\tau \end{eqnarray*}$
Integral-Grenzen teilen:
$\begin{eqnarray*} x(t)=\int\limits_0^{\frac{1}{2}} f(\tau)\cdot f(t-\tau) d\tau + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 f(\tau)\cdot f(t-\tau) d\tau \end{eqnarray*}$
der zweite Summand wird NULL, weil in diesem Bereich $\begin{eqnarray*} f(\tau)=0 \end{eqnarray*}$ ist.
im ersten Summanden ist $\begin{eqnarray*} f(\tau)=1 \end{eqnarray*}$ , also folgt:
$\begin{eqnarray*} x(t)=\int\limits_0^{\frac{1}{2}} 1\cdot f(t-\tau) d\tau + 0 =\int\limits_0^{\frac{1}{2}} f(t-\tau) d\tau \end{eqnarray*}$

So weit bin ich, ich hab aber keine Ahnung, ob das bis jetzt richtig ist?!

Über Tipps und Hilfestellung wäre ich sehr dankbar.

MfG,
Christian

20.04.2005, 10:45

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Bis jetzt völlig richtig. Freude

Freude

Und jetzt erfolgt erneut eine Integralaufteilung, dabei sollten die Fälle 0 <= t < 1/2 und 1/2 <= t < 1 unterschieden werden.

Ach ja, Willkommen

Willkommen

im Board!

20.04.2005, 11:04

christian.asd

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Hmm...
Ich habe das Integral doch schon aufgeteilt und jetzt sind die Grenzen ja von 0 bis 1/2!
Dann kann ich doch jetzt nicht einfach wieder die Grenze hochsetzen oder wie ist das gemeint.

Worauf du hinaus willst kann ich mir wohl denken. Bei t=1/2 hat die resultierende Funktion (Dreieck) ihr Maxima. Zeichnerisch hab ich das schon gemacht, nur weiß ich noch nicht so recht, wie ich da rechnerisch hinkomme.

20.04.2005, 11:22

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Na gut, anders formuliert und was aufs selbe hinauskommt:

Substituiere im verbleibenden Integral $\begin{eqnarray*} z=t-\tau \end{eqnarray*}$ , vielleicht siehst du nach dem entsprechenden Mitsubstituieren der Integralgrenzen, worauf ich hinaus will.

20.04.2005, 11:45

christian.asd

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OK:

$\begin{eqnarray*} z=t-\tau \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(t)=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}f(z) dz=[F(z)]_0^{\frac{1}{2}}=F(\frac{1}{2})-F(0) \end{eqnarray*}$

edit: zu früh "antworten" geklickt!
Muss trotzdem jetzt erstmal los, überlege später weiter..

MfG

Sorry, komme nicht weiter..
Brauch da noch nen Tipp..

Ist mein letztes Posting denn richtig?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

20.04.2005, 14:02

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Zitat:

Original von christian.asd
Ist mein letztes Posting denn richtig?

Nein - dabei habe ich im letzten Beitrag ausdrücklich darauf hingewiesen, dass auch die Grenzen der Substitution unterzogen werden müssen, das hast du ganz offenbar ignoriert. Korrekt ausgeführt lautet die Substitution

$\begin{eqnarray*} x(t) = \int\limits_0^{\frac{1}{2}}~f(t-\tau)~\mathrm{d}\tau = \int\limits_{t-\frac{1}{2}}^t~f(z)~\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$ .

Um das jetzt weiter zu vereinfachen, sollte man schon sowas wie die von mir in meinem vorletzten Beitrag vorgeschlagene Fallunterscheidung bezüglich t vornehmen. Dann kommst du auch auf die Dreiecksgestalt von x(t).

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20.04.2005, 16:27

christian.asd

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RE: Faltung von f(t) mit sich selbst
Danke erstmal!

Es geht jetzt also weiter mit

$\begin{eqnarray*} x(t)=\int\limits_{t-\frac{1}{2}}^{\frac{t}{2}}f(z)dz+\int\limits_{\frac{t}{2}}^{t}f(z)dz=[F(z)]_{t-\frac{1}{2}}^{\frac{t}{2}}+[F(z)]_{\frac{t}{2}}^{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(t)=F(\frac{t}{2})-F(t-\frac{1}{2})+F(t)-F(\frac{t}{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(t)=F(t)-F(t-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Sorry, der Groschen will nicht fallen. Irgendwo muss ja auch wieder rücksubstituiert werden!?
Ausserdem hab ich n Problem die Stammfunktion zu finden. Zu x² oder cos(x) wär das kein Thema, aber die Funktion liegt ja so gar nicht vor..

Oder muss ich etwa hier schon $\begin{eqnarray*} [F(z)]_{t-\frac{1}{2}}^{\frac{t}{2}}+[F(z)]_{\frac{t}{2}}^{t} \end{eqnarray*}$ rücksubstituieren?

Leider weiß ich auch nicht, wie das Ergebnis aussehen soll, weil wir erst Beispiele in der Vorlesung rechnen, nachdem wir uns durch die Übungsaufgaben gequält haben.. :-(

20.04.2005, 17:27

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Gelöscht.

EDIT: Mein Fehler, ich hatte mich bei der Integrationsgrenze verlsen. Hammer

Hammer

Trotzdem, diese Umformung bringt nichts.

20.04.2005, 18:00

christian.asd

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Hmmm.. Ich hab doch bloß die Integrationsgrenzen halbiert und aus einem zwei Integrale gemacht.. :-(

Du hast ja geschrieben: "Und jetzt erfolgt erneut eine Integralaufteilung, dabei sollten die Fälle 0 <= t < 1/2 und 1/2 <= t < 1 unterschieden werden."

Ehrlich gesagt wusste ich nicht genau, was du meinst und da hab ich halt das probiert, was ich im vorherigen Post geschrieben habe.

Ich mach mir noch mal n paar Gedanken...........

edit:
OK, das mit dem aufteilen in zwei Integrale geht nicht, das ist mir jetzt auch aufgefallen bei näherem hinsehen.

So, hab jetzt mal was anderes gemacht, bin aber fast beim selben Ergebnis wie weiter oben gelandet..

$\begin{eqnarray*} x(t)=\int\limits_{t-\frac{1}{2}}^t f(z)dz=[F(z)]_{t-\frac{1}{2}}^t=[F(t-\tau)]_{t-\frac{1}{2}}^t=F(0)-F(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Ist denn wenigstens ein Schritt richtig davon?
Ich starr die ganze Zeit auf $\begin{eqnarray*} x(t)=\int\limits_{t-\frac{1}{2}}^t f(z)dz \end{eqnarray*}$ und frag mich, wie ich da weiterkomme..

Mittlerweile weiß ich auch (durch probieren im Taschenrechner), dass da so was in Richtung $\begin{eqnarray*} 2t~fuer~0\leq t <\frac{1}{2}~und~2-2t~fuer~\frac{1}{2}\leq t < 1 \end{eqnarray*}$ rauskommen müsste, aber rechnerisch klappt´s nicht..

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

20.04.2005, 19:31

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Als "Entschädigung" für meinen obigen Lesefehler will ich mal vorrechnen, was ich meine:

Für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt für die obere Integrationsgrenze natürlich $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , und für die untere dann $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\leq t-\frac{1}{2}\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Nun ist aber $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ für alle z mit $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\leq z\leq 0 \end{eqnarray*}$ , also fange ich erst bei Null an zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} x(t) = \int\limits_{t-\frac{1}{2}}^t~f(z)~\mathrm{d}z = \int\limits_0^t~1~\mathrm{d}z=t \end{eqnarray*}$

Und im anderen Fall $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ zieht ein ähnliches Argument, nur für die obere Intervallgrenze.

20.04.2005, 20:20

christian.asd

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ für alle z mit $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\leq z\leq 0 \end{eqnarray*}$

Woher weisst du das? Kann ich $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ genauso betrachten wie $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ ?

Und müsste $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} =2t \end{eqnarray*}$ sein? Die resultierende Dreiecksfunktion hat doch ihr Maxima von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir deine Rechnung anschaue muss ich leider sagen, dass ich da alleine nie drauf gekommen wäre.

Im anderen Fall wäre also $\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{1}{2}-(t-\frac{1}{2})=1-t \end{eqnarray*}$
Richtig?

Ergebnis wäre also:
$\begin{eqnarray*} x(t)=t~fuer~0\leq t <\frac{1}{2}~und~1-t~fuer~\frac{1}{2}\leq t <1 \end{eqnarray*}$
Wenn das stimmt, wie sieht das dann mit der periodischen Fortsetzung aus? Kann ich dann einfach schreiben, dass $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ periodisch fortgesetzt wird? Bei $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ war das ja so angegeben, aber für $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ geht das so nicht befürchte ich..

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

20.04.2005, 20:30

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Zitat:

Original von christian.asd
Im anderen Fall wäre also $\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{1}{2}-(t-\frac{1}{2})=1-t \end{eqnarray*}$
Richtig?

Richtig.

Freude

Zitat:

Original von christian.asd
Kann ich $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ genauso betrachten wie $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ ?

Das ist nicht dein Ernst, oder? Die Variablenbezeichnung ist sowas von egal, ob nun t oder z oder sonstwas. Die Frage kann höchstens sein, warum dort die Funktion Null ist - das liegt an der Periodizität (denk mal drüber nach).

Zitat:

Original von christian.asd
Die resultierende Dreiecksfunktion hat doch ihr Maxima von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wer sagt denn das? Der Maximalwert ist 1/2.

EDIT:

Die Periodizität von x(t) folgt leicht aus derjenigen von f(t) :

$\begin{eqnarray*} x(t+T)=\frac{1}{T}\int\limits_0^T f(\tau)\cdot f(t+T-\tau) d\tau=\frac{1}{T}\int\limits_0^T f(\tau)\cdot f(t-\tau) d\tau=x(t) \end{eqnarray*}$

20.04.2005, 20:54

christian.asd

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$\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ hat mich so verwirrt, weil wir das ja vorher substituiert haben. Aber ich weiß natürlich was du meinst.. Warum die Funktion an bestimmten Stellen Null ist weiß ich auch. Ist ja so definiert.

Wegen dem Maximalwert hab ich mich glaub ich mit den Fourierkoeffizienten (reel/komplex) vertan.. Haben das Thema Fourier erst seit kurzem und das Ganze hab ich noch nicht so wirklich verdaut.

Zur Periodizität:
Wenn zB $\begin{eqnarray*} t=3.25 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch $\begin{eqnarray*} x(t)=t=3.25 \end{eqnarray*}$ , also der "y-Wert" an der Stelle $\begin{eqnarray*} t=3.25 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} =3.25 \end{eqnarray*}$ , was ja nicht stimmen kann!
Wahrscheinlich liegt bei mir wieder n dickes Verständnisproblem vor!

Ich muss mich auf jeden Fall recht herzlich bei dir bedanken. Hatte die Aufgabe schon fast abgehakt!

20.04.2005, 21:01

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Zur Periodizität hatte ich meinen letzten Beitrag noch ergänzt, hast du vielleicht noch nicht gelesen.

20.04.2005, 21:08

christian.asd

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Doch, hatte ich schon..

Also muss ich mir das so vorstellen: Von einem beliebigen Wert für t werden einfach n ganze Perioden T abgezogen, solange bis t im Bereich zwischen 0 und T(=1) liegt?
Das frag ich jetzt nur für´s Verständnis, bewiesen hast du die Periodizität ja!

Vielen Dank jedenfalls!

20.04.2005, 21:09

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Zitat:

Original von christian.asd
Also muss ich mir das so vorstellen: Von einem beliebigen Wert für t werden einfach n ganze Perioden T abgezogen, solange bis t im Bereich zwischen 0 und T(=1) liegt?

... richtig, wobei n auch negativ ganzzahlig sein darf. Freude

Freude

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