Konvergenz von Reihen

23.11.2007, 17:49

hxh

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Konvergenz von Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{3^{k}}( \frac{k+1}{k} )^{k²} \end{eqnarray*}$

JA ich würde dann so umformen ist das ok ?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{3^{k}}\sum_{k=1}^\infty~( 1+\frac{1}{k} )^{k}\sum_{k=1}^\infty~(1+\frac{1}{k})^{k} \end{eqnarray*}$

die 2 letzten Reihen meiner aufsplittung sind ja bekannt , die konvergieren gegen e

dann bleibt

$\begin{eqnarray*} e²*\sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{3^{k}} \end{eqnarray*}$

kanns sein dass diese jetzt divergent ist ? wie zeigt man so was ?

23.11.2007, 17:58

tmo

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also so kannst du nicht aufspalten.

allgemein gilt $\begin{eqnarray*} \sum a_nb_n \neq \sum a_n \cdot \sum b_n \end{eqnarray*}$

23.11.2007, 17:58

20_Cent

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Zunächst: steht da hoch 2k oder hoch k^2 ? Wenn da hoch k^2 steht, dann kannst du den Term nicht also Quadrat schreiben.

Dann hast du völligen Unsinn gemacht, also du die Summen verteilt hast.
Das ist so nicht richtig.

Außerdem ist der letzte Schritt ebenfall falsch, denn die FOLGE konvergiert gegen e, nicht aber die Reihe darüber... aber wie gesagt: Das ist egal, denn die Umformung davor war ebenso falsch.

Eine richtige Möglichkeit: Verwende das Wurzelkriterium.

mfG 20

23.11.2007, 18:01

hxh

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schon k²
ok war auch nur ein dummer gedanke ich wusste nicht ob man so was darf smile

smile

23.11.2007, 18:01

Tomtomtomtom

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Nein, das kannst du nciht so umformen. Du kannst nicht einfach das Summenzeichen in das Produkt reinziehen. Dann wäre ja für beliebige Werte von a_i und b_i

$\begin{eqnarray*} a_1b_1+a_2b_2=\sum_{i=1}^2 a_i b_i ?=? \sum_{i=1}^2 a_i \sum_{i=1}^2 b_i = (a_1+a_2)(b_1+b_2)=a_1b_1+a_2b_2+ (a_1b_2+a_2b_1) \end{eqnarray*}$

was offensichtlich falsch ist. Dabei ist das falsche = durch extra Fragezeichen markiert.

23.11.2007, 18:55

hxh

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wie geh ich da am besten rann

soll man das so umschreiben

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{3^{k}}( \frac{k+1}{k} )^{k²} \end{eqnarray*}$

und jetzt partialsummen anschaun? bzw hab ja jetzt ne geom. reihe

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23.11.2007, 19:24

AD

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Hast du anscheinend überlesen:

Zitat:

Original von 20_Cent
Eine richtige Möglichkeit: Verwende das Wurzelkriterium.

Ist wohl das günstigste hier.

23.11.2007, 19:29

hxh

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Hammer

ja stimmt schau mir das mal nach dem an und fragen hab ich bestimmt noch

23.11.2007, 21:09

hxh

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{3^{k}}( \frac{k+1}{k} )^{k²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~ \sqrt[k]{\mid\biggl(\frac {1}{3}\biggl)^{k} \biggl( \frac{k+1}{k} \biggl)^{k²}\mid}= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~ |\frac {1}{3} \biggl( \frac{k+1}{k} \biggl)^{k}| =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n~ \biggl(1+\frac{1}{k} \biggl)^{k} \end{eqnarray*}$

so ?

23.11.2007, 21:30

tmo

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guck dir das wurzelkriterium doch mal genau an.

wie wärs mit:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\left| \left(\frac {1}{3}\biggl)^{k} \biggl( \frac{k+1}{k} \right)^{k²}\right|} =\frac{1}{3} \left( \frac{k+1}{k} \right)^{k} \leq \frac{e}{3} \end{eqnarray*}$

?

aber eigentlich hätte man sich das kriterium auch sparen können:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^k}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^2} = \frac{1}{3^k}\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)^k \leq \frac{1}{3^k} \cdot e^k = \left(\frac{e}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$

23.11.2007, 21:54

hxh

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Also konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \biggl(1+\frac{1}{k} \biggl)^{k} \end{eqnarray*}$ gegen e ja nicht wegen der reihe ? ist es formal falsch wie ich es geschrieben habe?

23.11.2007, 22:16

tmo

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ja denn mit bernoulli ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{k}\right)^k \geq \sum_{k=1}^n 2 = 2n \to \infty \end{eqnarray*}$

aber mit dieser aufgabe hat das gar nichts zu tun Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2007, 22:24

hxh

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ok jetzt bin ich verwirrt. wenn das nichts damit zu tun hat wie kamst du dann vorher auf die abschätzung mit e/3

23.11.2007, 22:28

20_Cent

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Beim Wurzelkriterium betrachtest du die SUMMANDEN a_k, nicht ganze Summen!
Du musst nur die k-te Wurzel aus dem a_k ziehen, und schaun, was damit passiert!
Schaus dir bitte nochmal an...
mfg 20

23.11.2007, 22:29

tmo

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bei dieser abschätzung habe ich jedes reihenglied nach oben abgeschätzt, sodass ich letztendlich auch die ganze reihe nach oben abschätzen kann.

ich habe aber nicht die reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \biggl(1+\frac{1}{k} \biggl)^{k} \end{eqnarray*}$ betrachtet.
das solltest du dir klarmachen.

23.11.2007, 23:08

hxh

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achsooo jetzt versteh ich Hammer

Hammer

ok dann ist es mir klar , nach wurzelkriterium $\begin{eqnarray*} \exists q \in [0,1) ...\sqrt[k]{| ak|} \leq q \end{eqnarray*}$ so dieses q ist hier nun e/3 und da e < 3 (darf ich ohne beweis vorraussetzen) komm ich da hin.

Ich hab jetzt verstanden, dass man beim wurzelkriterium nicht die Reihe betrachtet sonder die k-te Wurzel und das wäre ja ne folge für k gegen unendlich und man bekommt das e .

24.11.2007, 12:40

hxh

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hab ich das jetzt richtig verstanden ?
achja und danke an alle smile

smile

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