Dynkin-System

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23.11.2007, 17:55	Stochastik	Auf diesen Beitrag antworten »
Dynkin-System Bestimme das von $\begin{eqnarray} \mathcal{A} = \left\{A,B\right\} \end{eqnarray}$ erzeugte Dynkin-System $\begin{eqnarray} \mathcal{D} (\mathcal{A}) \end{eqnarray}$ . Meine Lsg.: $\begin{eqnarray} \mathcal{D} (\mathcal{A}) = \left\{A, B, A^c, B^c, \mathcal{A},\emptyset\right\} \end{eqnarray}$ Ist das richtig?
23.11.2007, 18:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist gewiss falsch, weil zwar $\begin{eqnarray} \mathcal{A}\subseteq \mathcal{D} \end{eqnarray}$ , aber nicht $\begin{eqnarray} \mathcal{A}\in \mathcal{D} \end{eqnarray}$ gelten muss. Die genaue Antwort hängt übrigens davon ab, wie $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ zueinander stehen, genauer gesagt, ob $\begin{eqnarray} A\cup B=\Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\cap B=\emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\subset B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\supset B \end{eqnarray}$ keines der vier vorgenannten Eigenschaften gilt. Also: Hast du noch eine Eigenschaft von $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ verschwiegen? EDIT: Einen Fall hatte ich noch vergessen... soeben ergänzt.
23.11.2007, 19:27	Stochastik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab nichts verschwiegen...
23.11.2007, 19:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Pech für dich - dann musst du alle Fälle diskutieren.
23.11.2007, 19:31	Stochastik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab grad nachgeschaut, da steht, dass die ganze Grundmenge ist im System enthalten sein muss, also $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \in \mathcal{D} \end{eqnarray}$
23.11.2007, 20:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ja - aber das ist nicht $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ !!! $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ ist ein System von Teilmengen von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Ein bisschen mehr Konzentration kann nicht schaden...
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23.11.2007, 20:36	Stochastik	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir nicht nen Tipp geben, wie ich am besten rangehen kann? Wäre echt nett
23.11.2007, 20:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich geb dir mal zwei Beispiele an - dann verstehst du vielleicht, warum ich oben diese Fälle angeführt habe ... ----------------------------------------------------------------------- 1.) $\begin{eqnarray} \Omega=\{1,2,3,4\},\quad A=\{1,2\},\quad B=\{1,3\} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \mathcal{A} = \{A,B\} = \{ \{1,2\} , \{1,3\} \} \end{eqnarray}$ gilt hier $\begin{eqnarray} \mathcal{D}(\mathcal{A}) = \{ \emptyset, \{1,2\} , \{1,3\}, \{3,4\} , \{2,4\}, \{1,2,3,4\} \} \end{eqnarray}$ oder anders ausgedrückt $\begin{eqnarray} \mathcal{D}(\mathcal{A}) = \{ \emptyset, A, B, A^c, B^c, \Omega \} \end{eqnarray}$ ----------------------------------------------------------------------- 2.) $\begin{eqnarray} \Omega=\{1,2,3,4\},\quad A=\{1,2\},\quad B=\{1\} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \mathcal{A} = \{A,B\} = \{ \{1,2\} , \{1\} \} \end{eqnarray}$ gilt hier dagegen $\begin{eqnarray} \mathcal{D}(\mathcal{A}) = \{ \emptyset, \{1,2\} , \{1\}, \{3,4\} , \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \{2\}, \{1,2,3,4\} \} \end{eqnarray}$ oder anders ausgedrückt $\begin{eqnarray} \mathcal{D}(\mathcal{A}) = \{ \emptyset, A, B, A^c, B^c, B\cup A^c, B^c\cap A, \Omega \} \end{eqnarray}$ . ----------------------------------------------------------------------- Also: Das Ergebnis hängt durchaus von $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ ab ...
23.11.2007, 20:51	Stochastik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, ich hab verstanden, also muss ich doch alle Fälle betrachten, da keine Vorraussetzung gegeben ist. Ich schreib nachher nochmal wenn ichs so weit hab.... und danke noch vielmals
24.11.2007, 11:44	Studentin_Anne	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hab da mal ne Frage an Arthur Dent: Du hast ja fünf Fälle die Auftreten können, sind diese auch äquivalent dazu: 1) $\begin{eqnarray} A \cap B = \emptyset \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} A^c \cap B = \emptyset \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} A \cap B^c = \emptyset \end{eqnarray}$ 4) $\begin{eqnarray} A^c \cap B^c = \emptyset \end{eqnarray}$ 5) $\begin{eqnarray} A \cap B, A^c \cap B, A \cap B^c, A^c \cap B^c \end{eqnarray}$ sind alle nicht leer.
24.11.2007, 12:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja richtig, habe ich mir auch schon überlegt: So geschrieben klingt es etwas systematischer.

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