komplexe zahlen

23.11.2007, 20:06

ushi

komplexe zahlen

guten abend

ich kam heut zu spät zur unibibliothek und deswegen muss ich mich nun an euch wenden. meine aufgabe lautet: "bringen sie folgende ausdrücke in die jeweils angebrachte grundform $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^{i\theta} \end{eqnarray*}$ ."

ich hänge an:

$\begin{eqnarray*} (1+i\sqrt{3})^{\frac 14} \end{eqnarray*}$

mach ich das jetzt mit dem ansatz:

$\begin{eqnarray*} e^{(\frac 14~ln(1+i\sqrt3))} \end{eqnarray*}$

23.11.2007, 22:01

mYthos

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.. lieber nicht so.

Berechne r (den Betrag) und den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß (!). Daraus entsteht zunächst die komplexe Zahl

$\begin{eqnarray*} \to r \cdot e^{i \phi} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du noch potenzieren (od. wurzelziehen) $\begin{eqnarray*} \to (r \cdot e^{i \phi})^{\frac{1}{4}} = \ldots \end{eqnarray*}$

Die andere Form ist

$\begin{eqnarray*} z = (r \cdot (\cos \phi + i \sin \phi))^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Da musst du noch den Satz von Moivre anwenden

$\begin{eqnarray*} (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos n \phi + i \sin n \phi \end{eqnarray*}$

dieser gilt auch für gebrochene (rationale) n

Hilft das so weit?

mY+

23.11.2007, 22:28

ushi

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also:

$\begin{eqnarray*} (2e^{i\cdot arctan\sqrt3})^{\frac 14}=(2e)^{\frac 14i\cdot arctan\sqrt3} \end{eqnarray*}$

geht das noch zu vereinfachen?

24.11.2007, 00:28

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \arctan \sqrt3 = \frac{\pi}{3} + 2k \pi \ \ \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Du musst die Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ nehmen (nicht etwa $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ), wie es aus dem Tangens vermutet werden würde, weil in Wirklichkeit der Realteil und der Imaginärteil zugleich betrachtet werden müssen (diese sind mit cos bzw. sin behaftet). Man sieht ja auch, dass ich der Zeiger (nur) im 1. Qusdranten befindet.

Beim anschließenden Potenzieren mit 1/4 ist zu beachten, dass es dabei 4 verschiedene Lösungen (innerhalb der ersten 4 Quadranten) gibt (mittels k = 0, 1, 2, 3, der Winkel vergrößert sich jeweils um $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ).

Wie lauten diese?
Und wie funktioniert das in der anderen Grundform?

mY+

24.11.2007, 01:05

ushi

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also gut

$\begin{eqnarray*} 2e^{\frac 14i(\frac {\pi }3+2k\pi )} \end{eqnarray*}$

darüber muss ich erst nochmal nachdenken.

bei dem anderen könnte man auch meinen:

$\begin{eqnarray*} (e^{i\phi })^n=cos(n\phi )+i~sin(n\phi ) \end{eqnarray*}$

das würde für mich bedeuten:

$\begin{eqnarray*} cos\left( \frac 14\left( \frac {\pi}3+2k\pi \right) \right) +i~sin\left( \frac14\left( \frac {\pi}3+2k\pi \right) \right) \end{eqnarray*}$

sehe ich das richtig?

is ja eigentlich egal was ich für k einsetze, müsste eigentlich immer das selbe rauskommen.

24.11.2007, 01:24

mYthos

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Zitat:

Original von ushi
...
$\begin{eqnarray*} 2e^{\frac 14i(\frac {\pi }3+2k\pi )} \end{eqnarray*}$
...

Nein, statt $\begin{eqnarray*} 2 \to 2^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ und dann doch

$\begin{eqnarray*} \ldots = 2^{\frac{1}{4}}e^{i(\frac{\pi}{12} + k \frac{\pi}{2})} = \sqrt[4]2 e^{i(\frac{\pi}{12} + k \frac{\pi}{2})} \end{eqnarray*}$

[Schreibfehler fehlendes i editiert]

Zitat:

...
$\begin{eqnarray*} cos\left( \frac 14\left( \frac {\pi}3+2k\pi \right) \right) +i~sin\left( \frac14\left( \frac {\pi}3+2k\pi \right) \right) \end{eqnarray*}$

sehe ich das richtig?
...

Soweit ja. Der Betrag vorne fehlt aber.

Zitat:

...
is ja eigentlich egal was ich für k einsetze, müsste eigentlich immer das selbe rauskommen.

Sicher nicht! Denn die Periodenlänge musst du auch mit 1/4 multiplizieren und dabei ändern sich die Winkelfunktionen!

mY+

24.11.2007, 02:02

ushi

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ja stimmt. ich hab die klammer vergessen.

also bei der nummer 1:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]2\cdot e^{i\left( \frac {\pi }{12}+k\frac{\pi }2\right) } \end{eqnarray*}$

wo is das i bei dir hin?

2.

$\begin{eqnarray*} 2cos\left( \frac {\pi }{12}+k\frac{\pi }2\right) +2i~sin\left ( \frac {\pi }{12}+k\frac{\pi }2\right) \end{eqnarray*}$

ja stimmt auch. der unterschied beträgt jeweils $\begin{eqnarray*} \frac {\pi }2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . hast mich ja auch vorher schon drauf hingewießen.

ich sollte für heut schluss machen. bin sowieso nicht mehr aufnahmefähig. ich danke für jegliche hilfe. ich werd es mir morgen nocheinmal zu gemüte führen. werde mir auch entsprechendes lehrmaterial zur verfügung stellen. danke und gute nacht. (ich hab das dumpfe gefühl, dass es eigentlich nicht wirklich schwer ist.)

mfg

24.11.2007, 02:16

mYthos

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Jupp, alles klar.
Das i habe ich vergessen, ja, war ein Schreibfehler, werd's editieren, thx.

gn8!

2.
Die 2 stimmen nicht, die stehen unter einer 4. Wurzel.

Kannst ja morgen noch weiter fragen, wenn was unklar ist! Bis denn!

mY+

24.11.2007, 13:16

ushi

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gutern morgen

ich mach erstmal bei 2. weiter:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}\left( cos\left( \frac {\pi }{12}+k\frac {\pi }2\right) +i~sin\left( \frac {\pi }{12}+k\frac {\pi }2\right) \right) \end{eqnarray*}$

so, wenn ich jetzt die ks einsetzen würde, müsste doch jeweils für k=0 und k=2, bzw. k=1 und k=3 betragsmäßig immer das selbe rauskommen mit unterschiedlichen vorzeichen, da der unterschied $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist.

wie geh ich nur weiter vor?

24.11.2007, 13:49

mYthos

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Sicher.

$\begin{eqnarray*} z_3 = -z_1 \ \text{und} \ z_4 = -z_2 \end{eqnarray*}$

Setze mal die k nacheinander ein und berechne die jeweiligen Winkelfunktionen:

$\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt[4]{2}\left( \cos\left( \frac {\pi }{12}\right) +i \sin\left( \frac {\pi }{12} \right) \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \sqrt[4]{2}\left( \cos\left( \frac {7 \pi }{12}\right) +i \sin\left( \frac {7 \pi }{12} \right) \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_3 = \sqrt[4]{2}\left( \cos\left( \frac {13 \pi }{12}\right) +i \sin\left( \frac {13 \pi }{12} \right) \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Und somit hast du schon die 4 möglichen Lösungen.

24.11.2007, 14:00

ushi

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achso ich bekomm also 4 koplexe zahlen raus.

aber da kommen doch ewige dezimalbrüche raus. ich glaub nicht das das der sinn der sache ist.

und bei dem ersten:

$\begin{eqnarray*} z_1=\sqrt[4]2e^{i\frac{\pi }{12}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2=\sqrt[4]2e^{i\frac{7\pi }{12}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_3=\sqrt[4]2e^{i\frac{13\pi }{12}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_4=\sqrt[4]2e^{i\frac{19\pi }{12}} \end{eqnarray*}$

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