Punktweise / Gleichmäßige Konvergenz

23.11.2007, 21:14

Shurakai

Punktweise / Gleichmäßige Konvergenz

Hallo zusammen smile

Ich beschäftige mich derzeit u.A. nochmal mit den im Thema genannten Themen.

Ich betrachte derzeit insgesamt 3 Funktionenfolgen:

$\begin{eqnarray*} (i) f_{k}: [0,1] \mapsto \mathbb R, f_{k}(x) = \sqrt[k]{x} \\ (ii) f_{k}: \mathbb R \mapsto \mathbb R, f_{k}(x) = arctan(x + k) \\ (iii) f_{k}: \mathbb R \mapsto \mathbb R, f_{k}(x) = k \cdot e^{-k\cdot x^2} \end{eqnarray*}$

So und ich möchte jetzt diese 3 Fkt.-Folgen auf punktweise / gleichmäßige Konvergenz untersuchen.

Nachfolgend meine Ansätze:

Zu (i):

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } f_k(x) = \begin{pmatrix} 0, falls x = 0 \\ 1, sonst \end{pmatrix} = f(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. f(x) soll meine Grenzwertfunktion sein.

Diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig und wegen

Zitat:

Wenn f_k gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist f stetig.

folgt, dass f_k nicht gleichmäßig gegen f konvergiert.

Wohl ist f_k aber punktweise konvergent, für x = 0 und x = 1 ist das klar. Für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ muss ich das noch zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall x \in (0,1) \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \ge N : \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Die Sache an sich ist ja eigentlich klar: die n-te Wurzel einer Zahl > 0 und < 1 konvergiert gegen 1, d.h. wenn wir das n nur groß genug wählen, klappts. Aber das richtig (gemäß der Definition) aufzuschreiben fällt mir schwer. Ich beginne mit

$\begin{eqnarray*} | \sqrt[k]{x} - 1 | < \varepsilon \end{eqnarray*}$ und versuche das Ganze dann umzuformen; versucht habe ich zu quadrieren oder mit ^n und dann bin. Lehrsatz, hat aber nicht viel gebracht. Bin ich hier auf dem Holzpfad?

Bei (ii) habe ich hier die Grenzfunktion z.B. als PI/2 und dass die Fkt. auch punktweise konvergiert. Auch hier: Probleme beim zeigen.

Bei gleichmäßiger Konvergenz würde ich

a) wieder mit der Stetigkeit argumentieren oder
b) sagen: Angenommen, es wäre gleichm. konvergent => $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb N : n \geq N : | f_n- \frac{\pi}{2} | < \varepsilon \end{eqnarray*}$ würde gelten

=> Sei N eine solche Schranke => Wähle x = -n => $\begin{eqnarray*} | 0 - \frac{\pi}{2} | > 1/10 \end{eqnarray*}$ für Epsilon = 1/10. Also Widerspruch => Nicht gleichmäßig konvergent.

Ist das so ok, oder hängts doch noch irgendwo? Für Hinweise und Tips bin ich stets sehr dankbar, einen kleinen Anschubser oder ein Beispiel ist sehr willkommen! smile

25.11.2007, 11:05

Abakus

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RE: Punktweise / Gleichmäßige Konvergenz

Zitat:

Original von Shurakai
Ich betrachte derzeit insgesamt 3 Funktionenfolgen:

$\begin{eqnarray*} (i) f_{k}: [0,1] \mapsto \mathbb R, f_{k}(x) = \sqrt[k]{x} \\ (ii) f_{k}: \mathbb R \mapsto \mathbb R, f_{k}(x) = arctan(x + k) \\ (iii) f_{k}: \mathbb R \mapsto \mathbb R, f_{k}(x) = k \cdot e^{-k\cdot x^2} \end{eqnarray*}$

So und ich möchte jetzt diese 3 Fkt.-Folgen auf punktweise / gleichmäßige Konvergenz untersuchen.

Nachfolgend meine Ansätze:

Zu (i):

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } f_k(x) = \begin{pmatrix} 0, falls x = 0 \\ 1, sonst \end{pmatrix} = f(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. f(x) soll meine Grenzwertfunktion sein.

Diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig und wegen

Zitat:

Wenn f_k gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist f stetig.

Idee richtig. Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{x})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ ) und ist bekannt. Ggf. hilft dir die Forumsuche hier weiter.

Zitat:

Bei (ii) habe ich hier die Grenzfunktion z.B. als PI/2 und dass die Fkt. auch punktweise konvergiert. Auch hier: Probleme beim zeigen.

Bei gleichmäßiger Konvergenz würde ich

a) wieder mit der Stetigkeit argumentieren oder
b) sagen: Angenommen, es wäre gleichm. konvergent => $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb N : n \geq N : | f_n- \frac{\pi}{2} | < \varepsilon \end{eqnarray*}$ würde gelten

=> Sei N eine solche Schranke => Wähle x = -n => $\begin{eqnarray*} | 0 - \frac{\pi}{2} | > 1/10 \end{eqnarray*}$ für Epsilon = 1/10. Also Widerspruch => Nicht gleichmäßig konvergent.

Vielleicht solltest du hier genauer schreiben, welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ du betrachtest bzw. was $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eigentlich ist.

Für die punktweise Konvergenz sollte der zu betrachtende Grenzwert bekannt sein.

Grüße Abakus smile

25.11.2007, 14:34

WebFritzi

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RE: Punktweise / Gleichmäßige Konvergenz

Zitat:

Original von Shurakai
Für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ muss ich das noch zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall x \in (0,1) \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \ge N : \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Das hast du doch hier schon gemacht:

Zitat:

Original von Shurakai
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } f_k(x) = \begin{pmatrix} 0, falls x = 0 \\ 1, sonst \end{pmatrix} = f(x) \end{eqnarray*}$

Man weiß doch, dass für alle $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x} =1. \end{eqnarray*}$

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