vollständige induktion

24.11.2007, 00:30

gabbo

vollständige induktion

beweisen sie den folgenden satz durch vollständige induktion:

seien a1 das anfangsglied und q der (konstante) quotient einer geometrischen folge. dann gilt für das n-te glied an:

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$

ich weiss jetzt nicht was mit a1 ist, soll da nicht erst a0 als allgemeine zahl z.b.a0= 1 und q=2 , d.h., a0=1, a1=2, a2=4, a4=8 u.s.w..????????

verwirrt

____________________

also das anfangsglied ist laut wikipedia a0, in der aufgabe ist dann a0=a1 und a0 fällt weg.

da aber eigentlich $\begin{eqnarray*} a_n=a_0*q^{n} \end{eqnarray*}$ ist wird die behauptung $\begin{eqnarray*} a_n=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$ für a0=a1 wohl falsch sein.

verwirrt

Edit mY+: Beiträge zusammengefügt! Warum nützt du nicht die EDIT-Funktion??

24.11.2007, 01:02

mYthos

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Nein, nichts ist falsch! In Wikipedia ist diese Wahl meiner Ansicht nach in diesem Zusammenhang recht unglücklich.
Sinnvoll ist es durchaus, das erste Glied der Reihe mit dem Index 1 zu bezeichnen, also mit a1. Es spielt beim Induktionsbeweis ohnehin keine besondere Rolle, denn es ist konstant.

Der Satz gilt hier für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Du sollst wissen, wie ein Induktionsbeweis funktioniert und ihn entsprechend durchführen:

1. Zeige die Richtigkeit der Formel für ein beliebiges n (z.B. n = 2)

2. Zeige - unter Annahme der Richtigkeit der Formel für n - dass sie auch für (n+1) gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_1 \cdot q^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Hinweis: Zerlege $\begin{eqnarray*} q^n = q^{n-1} \cdot q \end{eqnarray*}$ und ersetze $\begin{eqnarray*} a_1 q^{n-1} \end{eqnarray*}$ enstsprechend ...

mY+

24.11.2007, 01:20

gabbo

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so, los gehts:

$\begin{eqnarray*} a_n=(a_1=1)<(a_2=2)<(a_3=4)<(a_4=8),..,<\frac{1*2^{n}}{2} \end{eqnarray*}$ für alle n

behauptung: $\begin{eqnarray*} a_n=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

I. zu zeigen: $\begin{eqnarray*} A(3),d.h.,a_3=1*2^{3-1}=4 \end{eqnarray*}$ oh, geht doch!!

nachweis: $\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1*2^{3}}{2}=4 \end{eqnarray*}$ nach definition der summe.

bedingung I erfüllt.

II. ind.-voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(k),d.h.,a_k=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} A(k+1),d.h.,a_{k+1}=a_1*q^{(k+1)-1}=a_1*q^{k} \end{eqnarray*}$

nachweis: $\begin{eqnarray*} a_{k+1}=a_k+a_1*q^{k}=\frac{a_1*q^{k}}{2}+a_1*q^{k} \end{eqnarray*}$

mit meinem nachweis stimmt was nicht!!!
aber eigentlich ist das ja nicht a1+a2+a3... sondern a1,a2,a3..., dann wäre doch eher

$\begin{eqnarray*} a_{k+1}=a_k,a_1*q^{k}=\frac{a_1*q^{k}}{2},a_1*q^{k} \end{eqnarray*}$

verwirrt

EDIT von Calvin
Umlaute aus LaTeX entfernt

24.11.2007, 01:30

mYthos

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In I:

Nicht A(1), sondern A(3) hast du gezeigt. Sonst ok.

In II:

Vergiss die letzte Zeile, aber ganz schnell!

mY+

24.11.2007, 01:32

gabbo

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ja hab schon gesehen!!

besser ist

$\begin{eqnarray*} a_{k+1}=a_k,a_1*q^{k}=\frac{a_1*q^{k}}{2},a_1*q^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(3),d.h.,a_{3+1}=a_k,a_1*q^{k}=\frac{1*2^{3}}{2},1*2^{3}=(a_3=4),(a_{3+1}=8) \end{eqnarray*}$

verwirrt

_________________________

jetzt richtig??

verwirrt

24.11.2007, 02:13

mYthos

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Ähhm..., nein, daraus werd' ich nicht klug, was du da schreibst. Lasse doch das a1 ungeschoren, das verändert sich da in keiner Weise! Und was sollen die Halbe? Ach ja, die kommen von den besondern Zahlen, die du da einsetzt! Lass' diese mal weg, die haben da auch nichts verloren.

Am besten, du liest nochmals den Hinweis in meiner ersten Antwort durch ... und versuchts es so. Es ist wirklich nicht schwer. Du musst nur die Arbeitsweise des Induktionsbeweises erst mal richtig durchschauen, ich denke, da hapert es bei dir noch.

mY+

24.11.2007, 13:44

gabbo

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dasmit dem zerlegen verstehe ich nicht!
kann das nicht so bleiben, ich hab sowieso keine ahnung nach welchen regeln man sowas aufschreibt, in meinem buch steht das so mit I, zu zeigen, nachweis......., so wie das bei wikipedia steht mit dem sigma, ken ich nicht!

verwirrt

24.11.2007, 14:23

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
...
Der Satz gilt hier für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Du sollst wissen, wie ein Induktionsbeweis funktioniert und ihn entsprechend durchführen:

1. Zeige die Richtigkeit der Formel für ein beliebiges n (z.B. n = 2)
...

Die Formel $\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$ für eine geometrische Folge mit konstantem Quotient q soll bewiesen werden.

Wir wissen aus der Definition der geometrischen Folge: $\begin{eqnarray*} q = \frac{a_n}{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ ,
d.h. der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder ist konstant (q)

1.
Zeige die Richtigkeit für ein gewähltes n, z.B. n = 2
a_1 bleibt allgemein, wird nicht mit einer bestimmten Zahl belegt!

$\begin{eqnarray*} a_2 = a_1 \cdot q \end{eqnarray*}$
->
$\begin{eqnarray*} q = \frac{a_2}{a_1} \end{eqnarray*}$

Auch für n = 3 richtig
$\begin{eqnarray*} a_3 = a_1 \cdot q^2 = a_1 \cdot q \cdot q = a_2 \cdot q \end{eqnarray*}$
->
$\begin{eqnarray*} q = \frac{a_3}{a_2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mYthos
...
2. Zeige - unter Annahme der Richtigkeit der Formel für n - dass sie auch für (n+1) gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_1 \cdot q^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Hinweis: Zerlege $\begin{eqnarray*} q^n = q^{n-1} \cdot q \end{eqnarray*}$ und ersetze $\begin{eqnarray*} a_1 q^{n-1} \end{eqnarray*}$ enstsprechend ...
...

2.
Dazu gehe nun ähnlich wie oben (mittels einer ähnlichen, bereits beschriebenen Zerlegung für die Potenz von q) vor.
a_1 bleibt allgemein, es wird nicht mit einer bestimmten Zahl belegt!

Das "Problem" ist, dass der "Beweis" hier so einfach ist, dass er praktisch schon da steht....

mY+

24.11.2007, 16:23

gabbo

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wie soll ich denn eine berechnung darstellen ohne a1 mit einer zahl darzustellen??

verwirrt

_____________________________

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

I induktionsanfang

zu zeigen $\begin{eqnarray*} A(2),d.h., 3=1*3^{2-1} \end{eqnarray*}$

bedingung I erfüllt.

II ind.-voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(k),d.h.,a_k=a_1*q^{k-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

zu zeigen: A(k+1),d.h., $\begin{eqnarray*} a_{k+1}=a_1*q^{(k+1)-1)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

nachweis: $\begin{eqnarray*} a_k=a_1*q^{k-1}<a_{k+1}=a_1*q^{(k+1)-1)} \end{eqnarray*}$ bedingung erfüllt.

verwirrt

_____________________

also ich nehme das jetzt so, sonst platzt meijn gehirn.

!
unglücklich

24.11.2007, 19:06

mYthos

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Du hast es leider noch immer nicht verstanden.
Den Induktionsanfang habe ich dir ja schon vollständig hingeschrieben, obwohl das nicht Usus hier im Board ist, aber ich wollte dir damit auf die Sprünge für den zweiten Schritt helfen.
Warum setzt du q = 3? Davon ist keine Rede, das sollst du nur für n tun. q und a1 sind Konstanten.
Sieh' doch nochmal, was ich dir unter 1. hingeschrieben habe.

So, nun zu 2., damit das Leiden endlich ein Ende hat:

2.
Wir zeigen die Richtigkeit von

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_1 \cdot q^n \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} = a_1 \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$ gilt (IA). Dazu schreiben wir die IA nochmals an:

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$

Nun multiplizieren wir auf beiden Seiten mit q:

$\begin{eqnarray*} a_n \cdot q = a_1 \cdot q^{n-1} \cdot q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \cdot q = a_1 \cdot q^n \end{eqnarray*}$

Gemäß der Eigenschaften einer geometrischen Folge gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n \cdot q = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Nach entsprechenden Ersetzen der linken Seite folgt:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_1 \cdot q^n \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war.

mY+

24.11.2007, 19:48

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

so, allerletzter versuch!!!!!!
ich hab jetzt stundenlang hin und her getüftelt und das kam raus!!

I. induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} A(2).d.h.,a_2=a_1*q^{2-1} \end{eqnarray*}$

II. induktive voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(k).d.h., a_k=a_1*q^{k-1} \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} A(k+1).d.h.,a_{k+1}=a_1*q^{((k+1)-k)}=a_1*q^{k} \end{eqnarray*}$

nachweis der definition: $\begin{eqnarray*} q=\frac{ak+1}{a_k} also,a_{k+1}=q*a_k \end{eqnarray*}$

jetzt der beweis!!

$\begin{eqnarray*} a_{k+1}=a_1*q^{k-1}*q=a_1*q^{k} \end{eqnarray*}$

und???

verwirrt

______________________

und und?????

24.11.2007, 20:04

mYthos

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Zitat:

Original von gabbo
...
I. induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} A(2).d.h.,a_2=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$
...

Du musst doch hier für n = 2 setzen! Also $\begin{eqnarray*} a_2 = a_1 \cdot q^{2-1} = a_1q \end{eqnarray*}$

Und nimm für den Index entweder n oder k, aber nicht beide gemischt.

Und II

stimmt in etwa. Was willst du noch? Es steht doch schon die zu beweisende Relation da. Weil es eben so ergreifend einfach ist.

mY+

24.11.2007, 20:09

gabbo

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naja ich kenne das so, das für den induktionsanfang n und für die voraussetzung k genommen wird.
ja für n muss die 2 stimmt.
aber jetzt ist es doch richtig?????

verwirrt

24.11.2007, 20:16

mYthos

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Irgendwie kannst du nicht zuhören oder auch genau lesen. Das zieht sich durch den ganzen Thread, du gehst kaum auf die dir gegebenen Tips oder Hinweise ein!
Ich schrieb doch, dass es so weit passt und nach "und und ???" nichts mehr kommt.

Und bitte, mach' nicht immer 2- oder 3-fach Posts! Du weisst schon, dass dir eine EDIT-Funktion zur Verfügung steht?

mY+

24.11.2007, 20:18

gabbo

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ja, verstanden!!
dann vielen dank für die hilfe.!!!!

Freude

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