Cramersche Regel, Eigenwerte und Eigenvektoren

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Batista Auf diesen Beitrag antworten »
Cramersche Regel, Eigenwerte und Eigenvektoren
Hallo,

ich habe ein kleines Problem, für mich ist es ein großes!
Und zwar konnte ich aus gesundheitlichen Gründen an meiner liniaren Algebra Vorlesung nicht teilnehmen und musste den Stoff nacharbeiten und muss einige Rechnungen machen aber ich komme bei den Aufgaben nicht auf die Lösung, habe auch schon Ansätze aber mir geht jedes mal der rote Faden verloren.
Wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte!

1. ich soll die Lösung des LGS bestimmen mit der cramerschen Regel!

-2x1 +2x2 - x3 + x4 = -5
-8x1 +4x2 + 3x3 - x4 = 3
x1 +2x2 - x3 + 4x4 = -2
3x1 -3x2 + x3 - 2x4 = 5

Mit determinantenbrechnung könnte ich sie lösen aber man soll die ja mit der Cramerschen lösen und da habe ich keinen Plan, ich weis nur das man eine Zeile und eine Spalte streichen muss aber ich weis nicht wie!

2. Unter einem Eigenvektor einer Matrix A oder Abbildung versteht man einen Vektor (0) der auf ein vielfaches von sich selbst abgebildet wird, d.h. für den gilt: .
Die zugehörige Zahl heisst dann der zum Eigenvektor gehörende Eigenwert. Die Gleichung lässt sich umformen zu:.

Will man nun links ausklammern, so muss man die Einheitsmatrix E einfügen (Da Matrix minus Zahl nicht definiert ist) .

a.)Es sei . Wie lauten die Eigenwerte von A?

b.)Ermittle aus zu den Eigenwerten die zugehörigen Eigenvektoren. Wie lauten die entsprechenden normierten Eigenvektoren .

Es wäre echt nett wenn mir jemand zeigen könnte wie das geht, weil das nämlich Prüfunsstoff ist!
Danke!

Tschau Batista
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cramersche Regel, Eigenwerte und Eigenvektoren
Bilde erstmal die Matrix A - lambda*E. Da das GLS (A - lambda*E)*x = 0 eine nicht-trviale Lösung haben soll, muß die zugehörige Determinante = 0 sein. Bilde also die Determinante von (A - lambda*E). Man nennt dies auch das charakteristische Polynom. Suche davon die Nullstellen.

Übrigens gehört das Thema in die Algebra.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben nach Algebra
Batista Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe keine Ahnung wie du das meinst? Ich habe da schon was gebildet:



so weit bin ich, aber ich weis nicht wie ich weiter machen soll!
Kann mir jemand helfen??

Bitte, bin am verzweifeln!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht verzweifeln. Du hast doch das charakteristische Polynom schon ausgerechnet:

Davon mußt du jetzt die Nullstellen finden, also p(lambda) = 0. Denn nur dort hat das GLS (A - lambda * E) * x = 0 nicht triviale Lösungen (= Eigenvektoren).

EDIT: Habe allerdings Zweifel, ob du die Determinante wirklich richtig ausgerechnet hast. Ich komme jedenfalls nicht auf deine Terme. Hast du vielleicht die Sarrus-Regel angewendet? Die benutze ich nie. Deswegen habe ich die auch nicht drauf.
batista Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

und wie berechne ich die jetzt am besten?
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mal die vielen Klammern von p(lambda) ausrechnest, erhältst du ein Polynom 3. Grades. Davon die Nullstellen bestimmen sollte gehen.

Hast du kein Buch oder ähnliches, wo zumindest ansatzweise Grundlagen und Verfahren zu dem Thema beschrieben sind?
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