Abschätzen von x / (x² + 1)

24.11.2007, 13:48	dj_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzen von x / (x² + 1) Hallo! Ich beschäfte mich grade mal wieder mit Lipschitz-Stetigkeit. Und ich habe das Problem, dass ich $\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2+1} \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen muss. Die Funktion ist für $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert. Der Plotter gibt ja ziemlich eindeutig aus. Nur wie schätze ich $\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2+1} \end{eqnarray}$ ab? Die Eins weglassen bringt ja nichts. Dann würde ich ja durch 0 Teilen... Hat jemand eine Idee? Gruß Christoph
24.11.2007, 13:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzen von x / (x² + 1) Wie meinst Du das mit der 1? Du suchst eine, wenn nicht gar die kleinste obere Schranke S? Es ist nat. nicht ohne weiteres klar, dass sie existiert. $\begin{eqnarray} f(x):= \frac{x}{x^2+1} \end{eqnarray}$ Mit dem Schulwissen sollte intuitiv noch klar sein, wie sich die Funktion gegen Unendlich verhält. Auch ist der Nenner für alle reellen x definiert, so dass es keine Polstellen gibt. Wie Du siehst, sind das die Überlegungen einer Kurvendiskussion von gebrochen rationalen Funktionen. Man könnte nun lokale Extremwerte bestimmen. Sind diese dann auch global?
25.11.2007, 10:25	dj_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich glaube ich habe die Lösung (hoffentlich ;-). Über den ganzen Sachen, die man in der Uni über Mathe lernt vergisst man als nicht-Profi manchmal, was man in der Schule gelernt hat. Ich hoffe mein Schulwissen ist noch richtig. Ich hab mir also folgendes Überlegt: f(x) geht gegen 0 für x gegen unendlich. Und f'(x) hat Nullstellen bei $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ . Die Funktionswerte an diesen Stellen betragen $\begin{eqnarray} \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Also sind dies globale Maxima/Minima. Das heisst f(x) ist $\begin{eqnarray} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Ist das so richtig? Gruß, Christoph
25.11.2007, 10:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Christoph war ja nicht böse gemeint. Nur wenn man vor so einer Aufgabe sitzt, hat man i.A. ja keinen Plotter. Zumindest habe ich nur einen "normalo" TR. Dann kann es hilfreich sein, sich erstmal mit dem Schulwissen einen Überblick zu verschaffen. Für den Uni-Aufschrieb müsste man dann klären, "was erlaubt" ist. Kamen also in der Vorlesung schon Grenzwerte und Differentialrechnung dran? LG
25.11.2007, 10:48	dj_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich auch nicht als böse empfunden Also in Klausuren sind keinerlei Hilfsmittel erlaubt. Also auch kein TR. Aber Ableitungen kamen grundsätzliche schon dran. In derselben Klausur sollen ja auch Kritische Punkte berechnet werden. Ich finde die Lösung nicht schlecht (falls sie richtig ist). Das einzige Problem ist, dass in den Musterlösungen (von dieser Aufgabe habe ich leider keine), die ich habe immer nur "normal" abgeschätzt wird. Deswegen habe ich am Anfang auch versucht, die Funktion auf die Art $\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2+1}\leq \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ nach oben abzuschätzen. Nur die war ja offensichtlich nicht geeignet, da die Funktion ja für $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert ist. Da wäre die Null ein Problem. Und mir ist nichts besseres eingefallen... Gruß, Christoph
25.11.2007, 11:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wenn wir die "Hilfsmittel" alle benutzen dürfen, dann geht das schon wie in der Schule Mit ein bisserl Übung/Erinnerung, sollte man dafür auch nicht allzu lange brauchen (also machbar in einer Klausur) $\begin{eqnarray} f(x):= \frac{x}{x^2+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2+1 > 0 \Rightarrow D_f=\mathbb R \end{eqnarray}$ Scharfer Blick sagt: Punktsymmetrisch zum Urpsung, denn $\begin{eqnarray} f(-x)= \frac{-x}{(-x)^2+1}= - \frac{x}{x^2+1} = -f(x) \end{eqnarray}$ D.h es reicht die Funktion auf [0,+oo) zu untersuchen. Nun die Grenzwerte $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +\infty}~f(x) = \lim_{x \to +\infty}~\frac{x}{x(x+\frac{1}{x})} = +0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty}~f(x) = -0 \end{eqnarray}$ Spricht also alles für die Existenz globaler Extremwerte. Eine grobe Abschätzung wäre aus so möglich: $\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2+1}< 1 \Leftrightarrow x < x^2 + 1 \Leftrightarrow 0 < x^2 - x +1 \Leftrightarrow 0 < (x-0.5)^2 + 0.75 \end{eqnarray}$ Die scharfe Abgrenzung bekommst du dann über Extremwertbestimmung und Krümmungsverhalten.
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25.11.2007, 11:09	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Als "normale" Abschätzung hättest du $\begin{eqnarray} x^2 + 1 \geq 2x \qquad \forall x \geq 0 \end{eqnarray}$ nehmen können, dann wärst du auf die Schranke gekommen. Die Abschätzung gilt auch für negative x, aber da musst du beim Umformen halt aufpassen. Allerdings musst du diese Abschätzung wohl erst zeigen. air

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