Konvergenz zweier Folgen mit Parameter

24.11.2007, 16:32

JulieHH

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Konvergenz zweier Folgen mit Parameter

Hallo,
kann mir jemand, bei folgender Aufgabe helfen? Komm leider nicht weiter!
Ich soll die Folge an= $\begin{eqnarray*} \frac{1- x^{n} }{1+x^{n}} \end{eqnarray*}$ und bn= $\begin{eqnarray*} \frac{y^{n} }{1+y^{2n}} \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert bestimmen!
Kann mir da jemand helfen???

Vielen vielen Dank!

24.11.2007, 16:41

20_Cent

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Fangen wir mit der ersten Folge an:

Unterscheide folgende Fälle:

x=0, x=1, x=-1, x zwischen -1 und 0, sowie zwischen 0 und 1, außerdem |x|>1.

mfg 20

24.11.2007, 16:49

JulieHH

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Danke, und was mach ich aber mit dem hoc h n ? Ich kann doch nichts über die Folge aussagen, wenn ich n nicht weiß, oder???

LG JulieHH

24.11.2007, 16:50

tmo

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n ist doch die "folgenvariable" welche gegen unendlich strebt.

die zahl, die du nicht kennst, ist x.

24.11.2007, 16:50

JulieHH

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Oder gehe ich jedesmal davon aus, dass n gegen unendlich geht?

24.11.2007, 16:54

JulieHH

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Bei x=0 geht der Limes gegen 1, bei x=-1 ist er nicht definiert und bei den anderen geht er gegen 0. Richtig? Aber wie mache ich weiter?

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24.11.2007, 16:57

tmo

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mit den fällen, die 20cent dir genannt hat...

bis hierhin ist schonmal alles richtig.

24.11.2007, 16:58

JulieHH

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ok, soweit bin ich auch daheim gekommen, nur welchen schritt muss ich jetzt ansetzen?

24.11.2007, 17:46

20_Cent

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Was ist mit x=1, und |x|>1? Außerdem solltest du die Konvergenz gegen 0 bei den Fällen zwischen -1 und 1 ohne die 0 noch genauer begründen...
mfG 20

24.11.2007, 21:32

JulieHH

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Ja , aber damit ist die Aufgabe doch noch nicht gelöst, oder?

25.11.2007, 03:29

20_Cent

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Schreib doch erstmal deine Ergebnisse auf!

25.11.2007, 09:29

JulieHH

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Hier meine Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{n=\infty }~an=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{n=\infty }~an=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 < x \leq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{n=\infty }~an=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{n=\infty }~an=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid x \mid > 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{n=\infty }~an=1 \end{eqnarray*}$

Danke für eure Mühe!!! Freude

Freude

25.11.2007, 13:53

JulieHH

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Kann ich es eventuell auch so schreiben?

an= $\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{n}}{1+x^{n}} = \frac{x^{n}\cdot(\frac{1}{x^{n}}-1)}{x^{n}\cdot(\frac{1}{x^{n}}+1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } an=\frac{\frac{1}{x^{n}}-1}{\frac{1}{x^{n}}+1}=-1 \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{x^{n}} = 0 \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 14:33

20_Cent

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Zur -1 haste immer noch nichts.
Außerdem fehlen noch Begründungen.

Du musst in deinem dritten und vierten Fall die 0 ausnehmen.

Zu deinem letzten Beitrag: Ja, das solltest du sogar, denn das Ergebnis 1 von unten ist falsch, richtig ist -1.

mfG 20

25.11.2007, 14:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von 20_Cent
Zur -1 haste immer noch nichts.

Zitat:

Original von JulieHH
bei x=-1 ist er nicht definiert

25.11.2007, 14:45

20_Cent

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ah, ok...
Aber in der Zusammenfassung aller Fälle stand es nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2007, 14:46

JulieHH

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ja, bei x=-1 ist es nicht definiert, habe ich oben aber auch schon mal erwähnt.... trotzdem weiß ich immer noch nicht so recht, was ich noch machen muss. was ist mit bn?

25.11.2007, 14:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von JulieHH
ja, bei x=-1 ist es nicht definiert, habe ich oben aber auch schon mal erwähnt....

Ja, liebe Julie. Genau darauf habe ich 20Cent mit meinem Beitrag aufmerksam gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2007, 14:59

20_Cent

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Bei b_n kannst du ähnliche Fallunterscheidungen machen.

25.11.2007, 15:01

JulieHH

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Und hab ich es somit gelöst?

25.11.2007, 15:03

WebFritzi

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Nein. Bisher hast du hier nur Behauptungen gebracht. Die waren wohl auch alle richtig, nur begründet hast du sie nicht. Und das solltest du nachholen.

25.11.2007, 15:15

JulieHH

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Und wie begründe ich sie am besten???
Oh je, bin voll neben der spur. Hab mich wohl zu viel damit beschäftigt.... Hammer

Hammer

25.11.2007, 15:26

20_Cent

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Die einzelnen Fälle kannst du direkt einsetzen.
Die Divergenz bei -1 zeigst du am besten, indem du in zwei Teilfolgen aufspaltest.
Bei den anderen Fällen musst du mit den Grenzwertsätzen argumentieren.

25.11.2007, 15:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von 20_Cent
Die Divergenz bei -1 zeigst du am besten, indem du in zwei Teilfolgen aufspaltest.

Nein. Wie Julie wahrscheinlich schon ganz richtig erkannt hat, ist DIE FOLGE für x = -1 nicht definiert.

25.11.2007, 15:38

20_Cent

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Achherrje... ich bin heute aber echt neben der Spur, sorry... ich halte mich jetzt mal raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

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