endliche/unendliche Mengen

24.11.2007, 18:15	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
endliche/unendliche Mengen Hallo Ihr da draussen, hab mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe: Sei folgende Definition gegeben: Wir nennen eine Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ endlich, wenn es ein $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ ist. Eine Menge die nicht endlich ist, heißt unendlich. Zeigen Sie: (a)Die Vereinigung und der (b)Durchschnitt endlicher Mengen ist endlich. (c)Sind $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ unendliche Teilmengen von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , so gibt es eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Erstmal im Voraus: was sollen isomorphe Mengen sein? Gibts den Begriff nicht nur für Gruppen/Ringe/Körper? Ich vermute mal, dass es eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen geben soll, ist das richtig? Zu (b) hab ich folgende Idee: Der Schnitt von n Mengen ist das selbe, wie der Schnitt von n-1 Mengen geschnitten mit einer n-ten Menge. Dementsprechend reicht es den Schnitt von 2 Mengen zu betrachten. Seien nun A und B endlich. So sind sie isomorph zu $\begin{eqnarray} K=\{1,...,k\} \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} L=\{1,...,l\} \end{eqnarray}$ Das hieße aber, automatisch, dass sie nicht disjunkt sind, deswegen führe ich eine Bijektion $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi: K\rightarrow M, q\in K\rightarrow q+p \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} p\in N \end{eqnarray}$ ein. Jetzt hab ich ja eine Schnittmenge L geschnitten M, aber wie bringe ich die jetzt wieder in die Form $\begin{eqnarray} \{1,...,x\} \end{eqnarray}$ ??? Oder gibts einen ganz anderen Weg? Bei (a) siehts genauso doof aus, weiß gar nicht so recht, wie ich da rangehen soll... Und bei (c) weiß ich nicht, wie ich da die Definition anwenden soll... Dankeschön für Eure Antworten, Euer Speedy
24.11.2007, 18:31	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den Begriff der Isomorphie benutzt man eigentlich nur, wenn noch eine Operation auf der Menge gegeben ist, und die Abbildung die Operation erhält. Wenn es um Mächtigkeit von Mengn geht, genügt es eigentlich, mit bijektiven Abbildungen zu arbeiten. Bei c) würde ich die Ordnungsrelation auf IN benutzen. Einfach beide Mengen ordnen, dann existiert eine bijektive Abbildung f von X nach IN (die jedem Element seine Position in der geordneten Menge zuordnet) und eine bijektive Abbildung g von Y nach IN. JEtzt betrachte die Hintereinanderausführung (g^-1 o f).

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