Dreieckskonstruktion

24.11.2007, 20:18

AlessandroI

Dreieckskonstruktion

Es mag zwar keine Hochschulaufgabe sein, dennoch bin ich und drei meiner Studiumskollegen daran gescheitert. Deshalb bitte ich euch um Hilfe (musste diese Aufgabe einer meiner Schüler erklären).

Gegeben sind:
Beta = 40 Grad
b = 60mm
Inkreisradius = 17mm

Cheers

24.11.2007, 21:54

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Folgendermaßen sollte es klappen:

Ausgehend von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und den davon abgehenden Winkelschenkeln $\begin{eqnarray*} g_A \end{eqnarray*}$ (auf dem A liegt) und $\begin{eqnarray*} g_C \end{eqnarray*}$ (auf dem C liegt) von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ wird erst der Inkreis, und anschließend der die Seite $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ tangierende Ankreis konstruiert. Die Seite $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist dann als gemeinsame Tangente von diesem Ankreis sowie dem Inkreis konstruierbar.

Alle Konstruktionsschritte kritisch hinterfragt lässt sich sicherlich hinsichtlich des Aufwands noch einiges optimieren. Aber mir ging's erstmal um die Machbarkeit an sich. Augenzwinkern

25.11.2007, 02:07

mYthos

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@Arthur

Wie findest du den Radius bzw. den Mittelpunkt des gegenständlichen Ankreises?
Ausser der Tatsache, dass dieser auf der Aussenwinkelhalbierenden liegt, ist zu diesem Zeitpunkt nichts weiter bekannt, auch nicht der Berührungspunkt auf der Seite a.
Wie bringst du dann die Länge von b (60 mm) unter?

Also, ich glaube fast sicher, dass das so nicht funktioniert.
Die Aufgabe ist jedoch schon reiz- bzw. anspruchsvoll.

Es gibt eine ähnliche mit dieser eng verwandte Aufgabe - praktisch die gleiche - in welcher ein Dreieck aus Umkreis-, Inkreisradius und einer Seite zu konstruieren ist. Sie macht sich den Satz zunutze, dass die Winkelhalbierende die Mittensenkrechte der gegenüberliegenden Seite in einem Punkt S des Umkreises schneidet. Dieser Punkt trägt auch die Bezeichnung "Südpol". Er ist auch in der Folge der Mittelpunkt eines Kreises, der durch zwei Eckpunkte des Dreieckes und den Mittelpunkt des Inkreises geht.

Somit wird die Aufgabe wie folgt zu lösen sein:

Mit b = AC (60 mm) beginnen, Peripheriewinkel-(=Fass-) Kreis mit beta (40°) über AC, Parallele im Abstand rho (17 mm, Inkreisradius). Der Fasskreis ist auch gleichzeitig Umkreis des Dreieckes. Mittensenkrechte von AC mit diesem schneiden -> S. Kreis mit Mittelpunkt S durch AC, dieser schneidet die Parallele im Inkreismittelpunkt (I). Fertigstellung der Konstruktion im 0815-Weg. Zwei Lösungen!

mY+

P.S.:
Vllt. malt unser Meister des Pinsels (werner Big Laugh

) ein Bilderl dazu?

25.11.2007, 06:46

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Zitat:

Original von mYthos
Also, ich glaube fast sicher, dass das so nicht funktioniert.

Glaube ist die eine Sache - Wissen eine andere.

Sei $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ der Berührungspunkt des Inkreises mit der genannten Geraden $\begin{eqnarray*} g_A \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ der Berührungspunkt des genannten Ankreises mit derselben Geraden $\begin{eqnarray*} g_A \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} |BT_1| = s-b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |BT_2| = s \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ wie üblich der halbe Kreisumfang ist.

$\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ kann konstruiert werden wie oben beschrieben, was du hoffentlich nicht anzweifelst. Und über $\begin{eqnarray*} |T_1T_2| = |BT_2|-|BT_1| = s-(s-b) = b \end{eqnarray*}$ kriegt man dann auch den Punkt $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ heraus - hier wird dann Seite b eingesetzt. Dann ist der genannte Ankreismittelpunkt leicht ermittelbar als Schnittpunkt der Senkrechten auf $\begin{eqnarray*} g_A \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ mit der Winkelhalbierenden von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ich schlage gewöhnlich nur Sachen vor, die auch klappen - ansonste merke ich das extra an

EDIT: Entschuldigung, Schreibfehler, $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist natürlich der halbe Dreiecksumfang. Wenn schon für sonst nichts, dann für diesen Hinweis Danke an mYthos.

25.11.2007, 09:46

mYthos

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Zitat:

Original von Arthur Dent
...
Glaube ist die eine Sache - Wissen eine andere.
...

Du kannst mal ruhig von deinem hohen Ross heruntersteigen!
Den flappsigen (und beleidigenden) Kommentar hättest du dir sparen können!

Zitat:

Original von Arthur Dent
...
Dann ist $\begin{eqnarray*} |BT_1| = s-b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |BT_2| = s \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ wie üblich der halbe Kreisumfang ist.
...

Das ist doppelt falsch. Erstens ist s der halbe Dreiecksumfang, dies kann man eventuell noch als Schreibfehler durchgehen lassen, und zweitens gilt

$\begin{eqnarray*} |BT_2| = s - a \end{eqnarray*}$

und nicht s

Zitat:

Original von Arthur Dent
..
P.S.: Ich schlage gewöhnlich nur Sachen vor, die auch klappen - ansonste merke ich das extra an.

Hier hast du Pech gehabt, so klappt es eben nicht.

25.11.2007, 10:21

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Ich finde es sehr bedauerlich, dass dich deine persönliche Abneigung gegen mich zu diesem mathematischen Amoklauf veranlasst hat. unglücklich

Mathematisch habe ich nichts zurückzunehmen, es ist $\begin{eqnarray*} |BT_2|=s \end{eqnarray*}$ . Hier eine Skizze der Konstruktion

Übrigens finde ich deine Konstruktion auch sehr gelungen - du hast es also gar nicht nötig, andere Zugänge mit falschen Argumenten abzuwerten, um deinen eigenen aufzuwerten.

EDIT: Zur besseren Verdeutlichung habe ich einige gleichlange Strecken eingefärbt

blau heißt $\begin{eqnarray*} s-a \end{eqnarray*}$
grün heißt $\begin{eqnarray*} s-b \end{eqnarray*}$
rot heißt $\begin{eqnarray*} s-c \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 13:11

mYthos

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Ich habe keine persönliche Abneigung gegen dich, ich habe lediglich deinen Kommentar beleidigend empfunden (und finde das noch immer).

Mit deiner Zeichnung ist nun alles klar, in deren Zusammenhang muss ich meinen Irrtum eingestehen. Ich habe - ohne deine Zeichnung ja vorher gesehen zu haben - T2 nicht ausserhalb der Seite C angesehen, sondern ganz woanders .. , und so kann es natürlich nicht gehen.

Von einem Amoklauf kann keine Rede sein, ich bin anfangs (ohne Zeichnung) einfach von hinsichtlich deiner differenten Voraussetzungen ausgegangen. Deinen Zugang abzuwerten, weil ich meinen besser finde - dass du mir dies unterstellst, finde ich einfach lächerlich. Dies und dein bissiger Kommentar lässt die persönliche Abneigung eher auf der anderen Seite vermuten.

Nochmals zur Klarstellung: Ich befand mich im Irrtum, und diesen gestehe ich offen ein. Ich bin nicht von derselben Anfangssituation ausgegangen wie du.
-----
Rein mathematisch gefällt mir deine Konstruktion besser, weil die Existenz des Südpolsatzes nicht vorausgesetzt werden muss.

mY+

25.11.2007, 13:20

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Ich überlasse es dem geneigten Leser, wer hier wen in welcher Weise beleidigt hat. Jedenfalls empfinde ich dein Verhalten in jeder Beziehung eines Moderators unwürdig: Wenn du meine Konstruktion nicht verstehst, dann äußere dich entweder nicht dazu oder frag nach, ohne die Konstruktion von vornherein als falsch abzustempeln. Noch dazu in derart höhnischer Weise ("hohes Ross" usw.).

25.11.2007, 13:29

mYthos

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Zitat:

Original von Arthur Dent
...
Glaube ist die eine Sache - Wissen eine andere.

Das ist das "Ross", nicht die Mathematik.
Wer ist da höhnisch. So wie man in den Wald hineinruft, so tönt es zurück.

Im Übrigen betrachte ich die Diskussion hier als beendet.

25.11.2007, 14:20

Dual Space

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mYthos: Glauben und Wissen sind aber tatsächlich nicht das gleiche - ganz unabhängig vom Standpunkt. Und tatsächlich hat sich ergeben, dass sich deine anfängliche Vermutung (Glaube) nicht bestätigt hat (Wissen).

25.11.2007, 17:45

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Ich kehre mal zum Threadthema zurück - das hat es verdient - und ergänze eine Konstruktionsskizze der wirklich sehr schönen Variante von mYthos:

Gefällt mir fast besser als meine Variante. Augenzwinkern

Der entscheidende Punkt dieser Konstruktion ist die Begründung, warum Inkreismittelpunkt $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis um $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} |SA| = |SC| \end{eqnarray*}$ liegt. Das gelingt mit ein paar Winkelbetrachtungen und/oder Peripherie-Zentriwinkelsatz.

25.11.2007, 19:18

mYthos

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@Arthur
Ich möchte (auch) unter diesen Thread einen versöhnlichen Schlusspunkt setzen.

Ich habe schon öfters die Erfahrung gemacht, und das stelle ich mal in den Raum, dass, obwohl wir die gleiche Sprache sprechen, über gewisse Aussprüche zwischen eurem und unserem Land manchmal große Auffassungsunterschiede bestehen, des öfteren auch von meiner Seite.

Ich kenne den Spruch mit dem Glauben und Wissen natürlich auch. Bei uns heisst er, etwas salopp gesprochen: "Glauben heisst, nichts wissen". In diesem Zusammenhang (mit dem Thread) habe ich diesen als untergriffig empfunden. Weil mir damit stillschweigend Wissen abgesprochen wird. Wenn dem so ist, habe ich in diesem Board als Ratgebender absolut nichts mehr verloren. Vielleicht habe ich übersehen, dass du dich nur explizit auf dieses eine Problem bezogen hast? In diesem Fall nehme ich das "hohe Ross" zurück.

Es tut mir leid, falls ich dich grundlos beleidigt haben sollte, das war nicht meine Absicht.

mY+

25.11.2007, 19:44

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Ich hätte nicht im Traum dran gedacht, dass meine ironisch gemeinte Bemerkung derart deformiert aufgefasst werden könnte. Die kulturellen Unterschiede sind wohl doch deutlich größer, als ich gedacht habe. Jedenfalls werde ich eine ausgestreckte Hand nicht ausschlagen. Dennoch werde ich nicht verhindern können, dass mir diese Episode hier nachdrücklich negativ in Erinnerung bleibt.

29.11.2007, 21:54

AlessandroI

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Vielen Dank
Ich möchte mich noch für eure Beiträge bedanken, die haben mir echt weitergeholfen.
Seid lieb zueinander. Ich denke es war von anfang an ein Misverständnis. Sicherlich war es nicht mYthos Absicht, beleidigend zu sein. Er hat die Gültigkeit lediglich in Frage gestellt, was schlussendlich nabsolut legitim ist. Von dem her war die Reaktion auf seinen Post schon ein bisschen streng. Aber egal, ich hoffe es hat sich alles geklärt.

Liebe Grüsse
Ale

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