Gleichung umstellen Polynom 4. Grad

24.11.2007, 21:49

Fred

Gleichung umstellen Polynom 4. Grad

a $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ + bx³ + cx² + dx + e = f(x) im Intervall [0,k]

Das Polynom besitzt an der Stelle 0 und k eine doppelte Nullstelle. Mit dieser Info soll ich alle Koeffizienten in Abhängigkeit von a und x darstellen.

Kann mir jmd den Ansatz nennen? Ich komm einfahc nicht drauf.

24.11.2007, 21:52

Airblader

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Sagen dir Linearfaktoren was?

Du kennst nämlich (alle) 4 davon, da du 2 doppelte NS kennst.

air

24.11.2007, 21:55

Fred

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Hmm...also das sagt mir schon was, aber nicht für ein Polynom 4. Grades.

24.11.2007, 23:01

Airblader

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Wo ist das Problem?

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \end{eqnarray*}$

Nun weißt du:

$\begin{eqnarray*} x_0 = 0~;~x_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = k~;~x_3 = k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~ f(x) = ax^2(x-k)^2 \end{eqnarray*}$

Das kannst du nun ausmultiplizieren und dann die Koeffizienten zur allgemeinen Funktion vergleichen.
Wenn man sich kurz was zu den Informationen überlegt, dann sind d und e natürlich direkt klar.

air

25.11.2007, 18:32

Fred

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Also ich habe dann:

$\begin{eqnarray*} f(x)= a_4x^4 - 2a_4lx^3 + a_4l^2x^2 + 0x + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3 = -2a_4l \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = a_4l^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \end{eqnarray*}$

a_4 ist der führende Koeffizient, habe sie umbenannt statt a,b,c,d,e.

25.11.2007, 18:34

Fred

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Ach ja, vergessen habe ich noch etwas: Wie konnte man nochmal den Scheitelpunkt bestimmen, ohne abzuleiten? Irgendetwas mit quadratischer Ergänzung? Geht das hier?

25.11.2007, 18:47

klarsoweit

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Nun ja, mit quadratischer Ergänzung kann man hier nichts mehr machen. Sollte es dir gelingen, das Polynom in die Form $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot (x-x_1)^2 \cdot (x-x_2)^2 \end{eqnarray*}$ zu bringen, so sind x_1 und x_2 nicht nur Nullstellen, sondern auch Extremstellen.

25.11.2007, 18:51

Fred

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Also kann ich diese Funktion gar nicht als Quadrat einer quadratischen Funktion darstellen?

25.11.2007, 18:58

Fred

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Die Nullstellen dürfen auch Extrema sein merk ich gerade.

26.11.2007, 08:33

klarsoweit

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