parallele Gerade zur Ebene

20.04.2005, 14:22

Rike

parallele Gerade zur Ebene

Bin grad dabei die Aufgaben aus dem Vorabi durchzurechnen und komm bei der einen Aufgabe net weiter.

Die zur Ebene mit der Gleichung 2x+y-2z+18=0 parallele Gerade g verläuft durch den Punkt A(-7,-12,14) und schneidet die x-Achse.
Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Geraden.

Wie solln des funktionieren? Also durch den Punkt A, da müsste ich doch nur A als Stützvektor und einen Richtungsvektor von E nehmen, denn hätt ich doch ne parallele Gerade oder?
Aber wie krieg ich da beide Bedingungen rein, dass sie auch noch die x-Achse schneidet?

Kann mir da bitte jemand weiter helfen? Hilfe

Danke
Rike

20.04.2005, 15:14

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: parallele Gerade zur Ebene
nenne den (noch) unbekannten richtungsvektor der gesuchten geraden $\begin{eqnarray*} \vec{u} =\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (eine komponente kannst du ja frei wählen). dieser vektor muß senkrecht auf den normalenvektor der ebene stehen -> skalarprodukt = 0, und die gerade geht durch den punkt A(a/0/0). damit erhältst du ein gls zur berechnung von b und c, das den richtungsvektor liefert. mögliche lösung
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 10 \\ -6\\ 7 \end{pmatrix} \;und\; A(-27/0/0) \end{eqnarray*}$
werner

20.04.2005, 15:45

Rike

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: parallele Gerade zur Ebene
Okay, versteh ich schonma absolut nich was du da gemacht hast. Kannste des nochma verständlicher erklären bitte?
Und wo ist dabei A(-7;-12;14) geblieben durch den die Gerade gehen soll?
Also nach meiner Skizze hier könnte die Gerade die parallel zu der Ebene is und durch A geht die x-Achse gar nich schneiden verwirrt

20.04.2005, 16:30

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: parallele Gerade zur Ebene
also: der normalenvektor der ebene lautet
$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die gerade heißt:
$\begin{eqnarray*} g:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} -7 \\ -12 \\ 14 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
auf g liegt der punkt A(a/0/0) und da g parallel E =>
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
letzteres liefert 2 + b - 2c = 0
und wenn du A in g einsetzt (s. oben) kannst du zunächst b und c durch t ausdrücken (t = -20) und dann a, b und c berechnen
werner

20.04.2005, 16:30

Jan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: parallele Gerade zur Ebene

Zitat:

Original von Rike
Okay, versteh ich schonma absolut nich was du da gemacht hast. Kannste des nochma verständlicher erklären bitte?
Und wo ist dabei A(-7;-12;14) geblieben durch den die Gerade gehen soll?
Also nach meiner Skizze hier könnte die Gerade die parallel zu der Ebene is und durch A geht die x-Achse gar nich schneiden verwirrt

Es gibt zu einer Ebene unendliche viele parallele Geraden durch einen bestimmten Punkt. Du kannst ja sozusagen den Stützpunkt (hier A) als "Angelpunkt" nehmen, und dann die ganze Gerade einmal so im Kreis drehen, dass sie dabei immer parallel zur Ebene bleibt... Es gibt aber dann nur eine Gerade, die die x-Achse schneidet.
Ich versuch den Lösungsweg noch mal anders aufzuschreiben:
Als Stützpunkt deiner Geraden kannst du den Punkt A sofort übernehmen. Dann fehlt dir noch der Richtungsvektor, z.B. genannt $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Von diesem Richtungsvektor kannst du jetzt wie gesagt eine Komponente frei wählen, z.B. $\begin{eqnarray*} u_1 = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann bleiben noch 2 übrig die bestimmt werden müssen.
Du weißt, dass die Gerade parallel zur Ebene sein soll, d.h. ihr Richtungsvektor steht senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene, das bedeutet: $\begin{eqnarray*} \vec{u} * \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$
Du kannst jetzt schonmal einsetzen, es sind ja allerdings noch 2 variablen übrig, du kannst dir jetzt aussuchen, nach welcher von beiden du auflöst. Es geht z.B. so: $\begin{eqnarray*} u_2 = 2u_3 - 2 \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du schonmal eine provisorische Geradengleichung aufstellen:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ -12 \\ 14 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2u_3 - 2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Da ist jetzt nur noch eine Unbekannte zu bestimmen. Und dafür benutzt man dann die Bedingung, dass sich Gerade und x-Achse schneiden. Das bedeutet ja, dass für ein bestimmtes r die y- und z-Komponente den Wert 0 annehmen, d.h. rechnerisch:
$\begin{eqnarray*} -12 + r*(2u_3 - 2) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 14 + r*u_3 = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus errechnet man dann:
$\begin{eqnarray*} u_3 = 0,7 \end{eqnarray*}$
und für die fertige Geradengleichung also:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ -12 \\ 14 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ -0,6 \\ 0,7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die ist dann auch gleichbedeutend mit der weiter oben geposteten Lösung.

Viele Grüße,
Jan

20.04.2005, 16:46

Rike

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey cool, dankeschön. Also des nenn ich ma verständlich. Hab ich alles verstanden ...

Bis auf den Schluss *lach*
Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} u_{3} \end{eqnarray*}$ ?

Also egal was ich mit den beiden Gleichungen mache ich komm imma auf was total anderes.

Was hastn da gemacht?

20.04.2005, 16:59

Jan

Auf diesen Beitrag antworten »

z.B. die erste Gleichung nach r auflösen:
$\begin{eqnarray*} r = \frac{12}{2u_3 - 2} \end{eqnarray*}$
und die zweite nach u_3:
$\begin{eqnarray*} u_3 = -14/r \end{eqnarray*}$
Dann den Term für r einsetzen, den Doppelbruch auflösen, fertig Rock