Ebenengleichung nachweisen

20.04.2005, 14:41

Rike

Ebenengleichung nachweisen

Gegeben sind die Punkte A(1;6;4), B(-1;4;-2) und C(4;-2;2).

1) Ermitteln Sie die Parametergleichung der Ebene durch diese 3 Punkte.
2) Zeigen Sie, dass die Ebene E auch durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} [\vec{x}-\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}]\,\cdot\,\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ beschrieben werden kann.

zu 1) $\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 2) So, was muss ich da jetzt machen? Ich hab erstma den Normalenvektor der Ebene bestimmt und der wär da $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also wären die Vorzeichen genau vertauscht, aber des is eigentlich egal oder?
Und wie komm ich jetzt auf die (0;4;0)? Da müsste doch eigentlich einer von den Punkten und in meinem Fall A stehen oder?

Kann mir bitte jemand helfen? Gott

Lieben Gruß
Rike

20.04.2005, 14:51

klarsoweit

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RE: Ebenengleichung nachweisen
Im Prinzip ja. Wenn man (0, 4, 0) nehmen will, muß der zur Ebene gehören. Das müßtest du nachprüfen.

20.04.2005, 14:54

riwe

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RE: Ebenengleichung nachweisen
so wäre es schöner:
$\begin{eqnarray*} E:\;\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\6 \\ 4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zu 2) dein normalenvektor ist falsch, richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und wenn du jetzt die normalvektorform (mit dem punkt A) aufstellst und ausmultiplizierst, muß dasselbe herauskommen.
werner

20.04.2005, 15:47

Rike

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RE: Ebenengleichung nachweisen
Wo hast du denn jetzt die (1;6;6) her Werner? Des geht nich, denn des is keiner von den Punkten.
Und wieso is der Normalenvektor falsch? Des kommt da aber raus wenn ich mit meiner Ebene rechne.
Is des nich egal wie die Vorzeichen sind?

20.04.2005, 15:58

riwe

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RE: Ebenengleichung nachweisen
der 6 war ein tipfehler. habe ihn schon korrigiert.
dann mache doch einmal die probe
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\-2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =0\;??? \end{eqnarray*}$
wie hast du den vektor berechnet?
nein, das ist nicht egal, wie die vorzeichen sind - höchstens du vertauscht alle!(multiplikation mit -1), aber da stimmen auch die einzelnen komponenten nicht überein
werner

20.04.2005, 16:05

Rike

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RE: Ebenengleichung nachweisen
Na zwei Gleichungen mit den Richtungsvektoren aufgestellt:

1) -2x-2y-6z=0
2) 3x-8y-2z=0

die erste mit -4 multipliziert, denn beide addiert ... kommt raus

3) 11x+22z=0
x=-2z

so, denn hab ich für z=1 gewählt, denn is x=-2 ... des oben eingesetzt und denn is y=-1

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{n}=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

€dit: Ach, seh grad, dass wenn ich bei z anstatt 1, -1 wähl, denn kommt der richtige Vektor raus Rock

20.04.2005, 16:15

riwe

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RE: Ebenengleichung nachweisen
ja jatzt stimmt er auch!
vergleiche ihn mit deinem ersten, das war was anderes
werner

20.04.2005, 16:20

Rike

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RE: Ebenengleichung nachweisen
Ja, sorry ... da hab ich die Komponenten vertauscht. Habs schon geändert Big Laugh

Gut, und bei (0;4;0) muss ich jetzt einfach nur noch gucken ob der in E liegt, ja?

Denn mach ich des jetzt ma ...

Dankeschön Mit Zunge

€dit: Ohje, nu isses echt vorbei. Wie guck ichn nochma ob P in der Ebene liegt?

20.04.2005, 16:37

riwe

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RE: Ebenengleichung nachweisen
das ist zuwenig, das könnte dann auch ein punkt sein, der auf beiden (verschiedenen) ebenen (auf deren schnittgerade) liegt.
mach es "bracchial": zeige, dass dasselbe herauskommt bei
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} -2 \\- 1 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
werner

20.04.2005, 16:42

Jan

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RE: Ebenengleichung nachweisen

Zitat:

Original von wernerrin
das könnte dann auch ein punkt sein, der auf beiden (verschiedenen) ebenen (auf deren schnittgerade) liegt.

richtig, aber man will doch nur zeigen, dass dieser punkt ein geeigneter stützpunkt ist, und dafür genügt ja der nachweis, dass er in der ebene liegt! oder nicht?

zum technischen: Augenzwinkern

du setzt den vektor (0 / 4 / 0) an die stelle des x-vektors in deiner ebenengleichung. dann hast du 3 zeilen, also 3 gleichungen mit 2 unbekannten (nämlich den beiden parametern). wenn dieses gleichungssystem eine lösung hat, dann liegt P in der ebene.

20.04.2005, 16:52

Rike

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RE: Ebenengleichung nachweisen
Ja gut, so hätt ichs jetzt auch gemacht.
Da kommt aber bei mir raus, dass P nich in E liegt und darum dacht ich ich habs falsch gemacht.

Hilfe

€dit: Äham, oki ... hab mich wie üblich mal wieder verrechnet. Also, P liegt in E *lach*

DANKE nochma für eure Hilfe Mit Zunge

20.04.2005, 22:44

riwe

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RE: Ebenengleichung nachweisen

Zitat:

Original von Jan

Zitat:

Original von wernerrin
das könnte dann auch ein punkt sein, der auf beiden (verschiedenen) ebenen (auf deren schnittgerade) liegt.

richtig, aber man will doch nur zeigen, dass dieser punkt ein geeigneter stützpunkt ist, und dafür genügt ja der nachweis, dass er in der ebene liegt! oder nicht?

zum technischen: Augenzwinkern

naja, aber mein motto: soll jeder glauben, was er will, und damit selig werden
werner

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