Differentialrechnung - Ableitung

25.11.2007, 11:35

neon]microstar

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Differentialrechnung - Ableitung

Es geht um folgende Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=|x^{2}-1| \end{eqnarray*}$ . Diese geht durch $\begin{eqnarray*} P (1|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S (x| |x^{2}-1|) \end{eqnarray*}$ . Wenn man jetzt den Differentialquotient bildet, kommt das hier raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x^{2}-1|}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Dabei komme ich aber nicht weiter. Wie kann ich dabei kürzen oder auch ausklammern. Kann man es vielleicht mit versch. $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ darstellen?

EDIT: (x^2)-1 := x^{2}-1

25.11.2007, 11:36

tigerbine

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Was möchtest Du denn eigentlich tun /zeigen? Bei Betragsfunktionen würde sich ja auch eine Darstellung mit Fallunterscheidung anbieten.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} &\\& \end{cases} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]f(x)=\begin{cases} &\\& \end{cases}[/latex]

Warum steht das x² in Klammern?

25.11.2007, 11:41

neon]microstar

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Ich möchte zeigen, dass wie man auch eine Gerade durch P legt, sie sich in keiner Umgebung von P dem Graphen anschmiegt. Deshalb hab ich erst mal mit der Sekante begonnen, um dann den Limes vom Differentialquotient bilden zu können - den Differenzenquotient.
Zu dem $\begin{eqnarray*} x² \end{eqnarray*}$ : Siehe Edit Beitrag 1.

25.11.2007, 11:51

tigerbine

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Nun liegt ja P auf dem Graphen der Funktion f. Was verstehst Du nun unter anschmiegen? verwirrt

verwirrt

Das Problem ist hier doch, dass die Funktion in P nicht differenzierbar ist. Dröselst Du den Betrag weg, wirst Du benutzen dürfen, dass die innere Funtkion "x²-1" differenzierbar ist. Nun bestimme einmal die Grenzwerte gegen x=1 von links und von rechts.

25.11.2007, 12:00

neon]microstar

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Mir ist schon klar, dass sie dort nicht differenzierbar ist, man kann also keine Tangente, die die Steigung in dem Punkt P anzeigt, anlegen, das ist damit gemeint. Dies soll ich jetzt aber auch mit der Rechnung beweisen.
Der Grenzwert für x -> 1 = 0.

Hier ist mal die genaue Aufgabenstellung:
"Der Graph der Funktion x -> |x²-1| hat an der Stelle 1 (und auch an der Stelle -1) eine Spitze. Nach unserem bisherigen Tangentenverständnis dürfte es dort keine Tangente geben. Denn wie man auch eine Gerade durch P legt, sie schmiegt sich in keiner Umgebung von P dem Graphen an.
Zeigt dies auch die Rechnung?"

25.11.2007, 12:09

tigerbine

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"Zeigt dies auch eine Rechnung." Naja, Ansatz ist Differenzenquotient für beide Seiten und dann Grenzwerte bestimmen. Die sind verschieden, also kein Anschmiegen möglich. Dennoch musst Du die Beträge auflösen.

Edit:

Mit Grenzwert meinte ich den der "Ableitung", nicht den der Funktion.

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25.11.2007, 12:32

neon]microstar

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Wie soll ich denn den Differentialquotient bilden?
Allein der Differenzenquotient geht schon nicht.

25.11.2007, 12:34

tigerbine

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Bitte? Da stimmt nun aber die Reihenfolge nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Differenzenquotien ist doch quasi die Sekante. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2007, 13:38

neon]microstar

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geschockt

vertauscht in der Hektik des Gefechts^^...
Sry, natürlich mein ich den Differenzenquotient (Sekante).
Dies ist ja mein Problem, das ich bereits schon im 1. Beitrag geschildert habe.

25.11.2007, 13:58

tigerbine

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Und ich habe Dir schon gesagt, dass Du die Betragsklammern auflösen musst. Fallunterscheidung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2007, 14:11

neon]microstar

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Das dürfte für die Funktion dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{2}-1 ; |x| >= 1 ; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = -x^{2}+1 ; |x| <=1 \end{eqnarray*}$

Das muss ich jetzt in die Differenzenquotientberechnung einsetzen?

25.11.2007, 14:17

tigerbine

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So würde man das aufschreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} +x^2-1 & x < -1 \\ -x^2+1 & -1 \leq x < 1 \\+ x^2-1 & 1 \leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann mal die Quotienten aufstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: + -> - Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2007, 14:23

neon]microstar

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} +x^2-1 & x < -1 \\ -x^2+1 & -1 \leq x < 1 \\+ x^2-1 & 1 \leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$
-1 beim letzten wieder, oder?
Und für x=1 / (-1) können doch alle Funktionen gelten oder? Sie liegen doch bei allen auf deren Graphen?!

25.11.2007, 14:31

tigerbine

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Tippfehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Editiert

25.11.2007, 14:36

neon]microstar

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h-methode
Hier wird genau dieselbe Aufgabe betrachtet.

25.11.2007, 14:40

tigerbine

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Soll ich dann hier beenden? verwirrt

verwirrt

25.11.2007, 14:42

neon]microstar

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RE: Differentialrechnung - Ableitung
Geht klar. Betrachten wir die Chose im anderen Thread weiter. Vielen Dank bis hier hin schon einmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

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