Beweis für FI von Parallelogramm

20.04.2005, 14:50

aRo

Beweis für FI von Parallelogramm

Hallo!

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ spannen ein Parallelogramm auf, falls l.u.

Beweise dass für Flächeninhalt A gilt:
$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{\vec{a}^2\vec{b}^2 - ( \vec{a}*\vec{b})^2 } \end{eqnarray*}$

Als Hinweis steht noch da: $\begin{eqnarray*} h^2=\vec{b}^2(1-cos^2(phi)) \end{eqnarray*}$

Also bis jetzt habe ich mir nur überlegt, dass:

$\begin{eqnarray*} A = |\vec{a}|*h \end{eqnarray*}$

Nunja, nun könnte ich ja schreiben:
$\begin{eqnarray*} A = a*b*\sqrt{1-cos^2(phi)} \end{eqnarray*}$ a,b sollen die Längen sein.

Naja, so wirklich weiter komme ich nicht, kann mir da vielleicht jmd unter die Arme greifen?

Danke!
aRo

20.04.2005, 15:00

riwe

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RE: Beweis für FI von Parallelogramm
da bist du eh auf dem richtigen weg
mach es "quadratisch":
$\begin{eqnarray*} A^{2}={\vec{x} }^{2}\cdot h^{2}=a^{2}\cdot b^{2}(1-cos^{2}\alpha ) \end{eqnarray*}$
die klammer ausmultiplizieren und an die definition des skalarproduktes denken, fertig
(ich habe aus faulheit die vektorpfeile ausgelassen)
werner

20.04.2005, 15:09

aRo

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ju!

vielen dank!
Habs hingekriegt! War ja gar nicht soo schwer :-) Naja, sagt man nachher immer.

Falls dus weißt, mich würde interessieren, wie man auf die GLeichung für h kommt!

Danke, aRo!

20.04.2005, 15:41

riwe

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dann sagst du wieder, ist eh ganz einfach:
das ist nur eine "bosheit" für
$\begin{eqnarray*} h = b\cdot sin\alpha \end{eqnarray*}$
(sonst kommst du nicht zum skalarprodukt)
(mach dir eine skizze, dann siehst du es sofort)
einleitung war nur spaß
werner

20.04.2005, 15:55

aRo

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jo, auch verstanden *g*

mit der Definition des Sinus und dem Phytagoras zu machen.

Nunja, aber leider noch etwas:

Nun wollen die, dass ich im folgenden ziemlich viele Flächeninhalte von Dreiecken ausrechne.

Nun das kann ich ja, dauert nur viel zu lange.

Ich vermute daher, dass die meinen, dass ich dann ein Dreieck als die Hälfte eines Parallelogramms auffassen soll?!

allerdings erkenne ich da meine Schwierigkeit, da ich gar nicht weiß, was
das hier eigentlich heißen soll: $\begin{eqnarray*} a^2b^2 \end{eqnarray*}$ , mit Pfeilen drüber.

Wie multipliziere ich denn diese beiden Vektoren? Das Skalarprodukt ist das doch nicht...oder bin ich gerade voll bekloppt...^^

ach ja noch was:
DIe Aufgabe ist, dass ich den Oberflächeninhalt einer dreiseitigen Pyramide mit den 4 Ecken ..... berechnen soll.
Also im Prinzip 3 Dreiecke. Meinen die dann, dass ich die Unterseite weglassen soll? Oder wie soll ich sonst eine 3seitige Pyramide zeichnen...

20.04.2005, 16:04

Jan*

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Zitat:

Original von aRo
allerdings erkenne ich da meine Schwierigkeit, da ich gar nicht weiß, was
das hier eigentlich heißen soll: $\begin{eqnarray*} a^2b^2 \end{eqnarray*}$ , mit Pfeilen drüber.

Naja, a-Vektor hoch 2 ist halt das Skalarprodukt des a-Vektors mit sich selbst. Und dieses Skalarprodukt hat den selben Wert, wie wenn du die Länge des Vektors a mit sich selbst multiplizierst...

Und "dreiseitige Pyramide" bedeutet, dass die Grundfläche 3 Seiten hat. Die Pyramide hat dann natürlich 4 Seitenflächen (jeweils Dreiecke), und für den Oberflächeninhalt musst du die alle ausrechnen und addieren.

20.04.2005, 16:20

riwe

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ist ein bißchen schwierig, mit die meinen.....
poste halt mal die aufgabe und was du schon gemacht hast
(wenn du noch hilfe brauchst)
werner

20.04.2005, 16:32

aRo

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könnte mir das einer von euch mal an dem Beispiel

$\begin{eqnarray*} a = 2|9|-3 \end{eqnarray*}$ mit pfeilen, sry sind beides Vektoren (faul)
$\begin{eqnarray*} b=0|7|-4 \end{eqnarray*}$

erklären.
Also bitte da die Formel anwenden.
Ich komme irgendwie auf ein falsches Ergebnis (stimmt nicht mit meinem Dreieck Flächeninhalt überein)

Bei der Pyramide müsste ich dann halt einfach 4*0.5*A rechnen....

aRo

20.04.2005, 16:47

riwe

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$\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} \;\vec{b} =\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{2}=\vec{a} \cdot\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 9\\ -3 \end{pmatrix} =4+81+9=94 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ab=\vec{a} \cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ -4\end{pmatrix} =0+63+12=75 \end{eqnarray*}$
faulheit ist kein gutes argument
werner
n.s. das mit der pyramide?

20.04.2005, 16:52

Jan

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okay, machen wir es einzeln:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}^2 = 2^2 + 9^2 + (-3)^2 = 94 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b}^2 = 0^2 + 7^2 + (-4)^2 = 65 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a}*\vec{b} = 2*0 + 9*7 + (-3)*(-4) = 75 \end{eqnarray*}$

und jetzt die formel:

$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{\vec{a}^2*\vec{b}^2 - (\vec{a}*\vec{b})^2} = \sqrt{94*65 - 75^2} = \sqrt{485} \end{eqnarray*}$

20.04.2005, 17:10

aRo

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jo!
so hatte ich es dann auch @Jan! außer dass bei mir am Schluss $\begin{eqnarray*} \sqrt{926} \end{eqnarray*}$ steht.

Aber das stimmt bei mir nicht mit meinem ausgerechneten Flächeninhalt für das Dreieck überein.
Vielleicht habe ich mich da ja auch böse verrechnet

Dreieck:
P(1|-2|5)
Q(3|7|2)
R(1|5|1)

ich habe irgendwie den merkwürdigen Flächeninhalt von $\begin{eqnarray*} 0.5*\sqrt{22985} \end{eqnarray*}$ raus.

Aber eigentlich müsste er ja dann: $\begin{eqnarray*} 0.5*\sqrt{926} \end{eqnarray*}$ sein, oder?

20.04.2005, 20:09

riwe

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da hast du dich irgendwo verrechnet, der wert von jan stimmt, und F_dreieck=1/2A
werner

21.04.2005, 14:22

aRo

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jo richtig.

habe ich mich wohl irgendwie vertan mitm taschenrechner, hatte den vorletzten schritt noch gleich.

Dann müsste doch das Dreieck mit P(1|-2|5),Q(3/7/2),R(1/5/1) den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sqrt{485} \end{eqnarray*}$ haben..richtig?

Ach.....ich habe gerade einen Fehler in meiner anderen Rechnung gefunden! *grummel*

Daran könnte es natürlich liegen.....werde das vielleicht nochmal nach SPort checken!

Danke für eure Hilfe!

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