Konvergenz einer konstanten Folge

25.11.2007, 15:11

Ash

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Konvergenz einer konstanten Folge

Hallo zusammen,

ich bearbeite gerade meine Übungsaufgaben und habe irgendwie ein Problem mit der Konvergenz.

Die Aufgabe lautet:

Sei ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) eine Folge mit $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, dass ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) genau dann konvergent ist, wenn es einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ so gibt, dass $\begin{eqnarray*} a_n 0 n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n >= a_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich habe versucht, dies anhand des folgenden Satzes zu beweisen:
Eine reelle Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jeder positiven Zahl $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ so gibt, dass für alle Indizes $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} |a_n - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Aber hier hab ich mein problem, wie zeige ich das?

Also laut des Satzes soll $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ > 0 sein...

wenn ich nu die Gleichung $\begin{eqnarray*} |a_n - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$ nehme, dann sieht man doch, dass die für jedes n gilt:

$\begin{eqnarray*} | a - a | = 0 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ist das schon der Beweis - it das überhaupt ein Beweis? Ich hasse die Beweisführung...

25.11.2007, 15:54

tmo

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die eine richtung zu zeigen ist sehr einfach. also, dass die folge konvergiert, wenn sie ab einem bestimmten index konstant ist.

um die andere richtung zu zeigen, benutzt du am besten das Cauchy-Kriterium: Eine Folge reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn die folgenglieder ab einem bestimmten index beliebig wenig voneinander abweichen:
$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n| < \epsilon \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 16:12

Ash

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Inwiefern muss ich 2 richtungen beweisen - ich brauch da echt hilfe, wobei ich an und für sich das mehr oder weniger verstehe, aber seit 10 jahren pause ist das anfangs mehr als ein hartes stück brot Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

Was muss ich beweisen? Sorry unglücklich

unglücklich

25.11.2007, 19:24

Ash

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Also ich muss beweisen, dass

Eine reelle Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jeder positiven Zahl $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ so gibt, dass für alle Indizes $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} |a_n - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Reicht denn dann nicht aus, wenn ich einfach zeige, dass für alle $\begin{eqnarray*} n_0 < n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} | a_n - a | < \epsilon <=> | a - a | < \epsilon <=> | 0 | < \epsilon \end{eqnarray*}$

wieso reciht das nicht aus, wieso muss ich ein beispiel durchrechnen?

25.11.2007, 19:27

tmo

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damit hast du die eine richtung gezeigt, nämlich:

$\begin{eqnarray*} a_n \text{ konstant ab gewissem index } \Longrightarrow a_n \text{ konvergiert } \end{eqnarray*}$

nun steht aber in der aufgabenstellung "genau dann", was bedeutet, dass du zeigen sollst, dass die aussagen äquivalent zueinander sind.
somit musst du noch die andere richtung beweisen:

$\begin{eqnarray*} a_n \text{ konstant ab gewissem index } \Longleftarrow a_n \text{ konvergiert } \end{eqnarray*}$

und genau dabei hilft dir der ansatz mit dem Cauchy-Kriterium.

25.11.2007, 19:32

Ash

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Ah so - danke - dann werd ich das mal versuchen (wenn ich das jetzt nur ordentlich schreiben könnte)

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25.11.2007, 19:54

Ash

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Also reicht das dann aus, dass ich ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wähle, z.B. 1/2 und in $\begin{eqnarray*} | a_n - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$ einsetze?

$\begin{eqnarray*} | a_n - a | < 1/2 \end{eqnarray*}$

==> dies gilt nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} a_n = a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n >= n_0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

==> alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ müssen also identisch mit a sein, damit die folge aN konvergiert...?

26.11.2007, 08:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ash
==> dies gilt nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} a_n = a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n >= n_0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist im Prinzip richtig, sollte aber etwas ausführlicher begründet werden.

26.11.2007, 12:09

Ash

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Und genau darin leigt mein hauptprob - in einer vernünftigen begürndung oder wie schreibe ich es so auf, dass es auch ein beweis ist ... 10 jahre pause in mathe und dann gleich mit beweisführung anfangen istecht gemein^^

26.11.2007, 12:52

klarsoweit

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Nun ja, was folgt denn aus $\begin{eqnarray*} | a_n - a | < 1/2 \end{eqnarray*}$ ?
In welchem Intervall müssen die a_n liegen, wenn sie diese Ungleichung erfüllen.

26.11.2007, 15:41

Ash

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Darauf kam ich auch später - da ja a € Z ist und das intervall sich über

-1/2+a+1/2 erstreckt

kann man schon erkennen, dass a die einzig ganze Zahl in diesem intervall sein kann... und diese liegt dann auch noch glücklicherweise in a_n...

Was hätte ich denn gemacht, wenn ich als epsilon ne 2 gewählt hätte - dumm in die wäsche geschaut?

Nach 10 Jagren pause in Mathe und dann gelich beweisführung ist echt gemein - weil ich weiß meistens nicht, wie ich es so ausdrücke, dass es a) für einen Matheprof verständlich wird und b) auch noch wirklich eine Beweisführung herauskommt ist so ein kleines Problemchen...

26.11.2007, 15:55

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ash
und das intervall sich über

-1/2+a+1/2 erstreckt

Zitat:

Original von Ash
kann man schon erkennen, dass a die einzig ganze Zahl in diesem intervall sein kann... und diese liegt dann auch noch glücklicherweise in a_n...

Pass auf, was du schreibst. Du meinst zwar das richtige, aber du schreibst Unsinn. Das kann Punktabzug geben. Versuch mal bitte, deine beiden Aussagen von oben zu korrigieren.

26.11.2007, 17:03

Ash

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Genau das mein ich - eigentlich vieles richtig im beweis und wenn man glück hat, trotzdem nur 2 punkte - da ich nicht in der lage bin mich mathematisch korrekt auszudrücken...

Wie formulier ich sowas? Also ich weiß, ich bin noch nicht wirklich gut in der analysis und das waren sehr viele begriffe auf einmal und so, aber ich weiß echt nicht, wie ich es anders ausdrücken soll... wahrscheinlich verstehe ich die zusammenhänge noch nicht gut genug., um überhaupt sauber zu sein... ich mache mir darüber (zuhause) noch mal gedanken und dann versuch ich es nochmal zu beantworten...

Danke leutz - ohne dieses forum und euch lieben und sehr guten leute. hätte ich wohl sc´hon aufgegeben...

26.11.2007, 18:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ash
Darauf kam ich auch später - da ja a € Z ist und das intervall sich über

-1/2+a+1/2 erstreckt

Also das mit dem Intervall ist schon unsauber geschrieben. Am besten schreibst du es in der Form:
$\begin{eqnarray*} .... \leq a_n \leq .... \end{eqnarray*}$

Im übrigen ist nicht gesagt, daß der Grenzwert a € Z ist. Das wäre noch zu zeigen.

27.11.2007, 09:02

Ash

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Okay, dass mit der intervall angabe stimmt - das hätte ich auch selbst wissen müssen...

Aber was muss ich noch zeigen, dass a € Z sein muss? Das ist doch schon per definition und wenn ich nur maximal -1/2 oder +1/2 dazu summiere, dann ist es doch sehr trivial ersichtlich, dass a die einzig ganze Zahl in dem Intervall sein kann...

27.11.2007, 09:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ash
Aber was muss ich noch zeigen, dass a € Z sein muss?

Du mußt zeigen, daß die Folge a_n ab einem Index konstant ist. Ob du auch zeigen mußt, daß der Grenzwert a € Z ist, weiß ich nicht. Leider war die Aufgabenstellung nie sauber formuliert gewesen.

Zitat:

Original von Ash
dann ist es doch sehr trivial ersichtlich, dass a die einzig ganze Zahl in dem Intervall sein kann...

Ob a ganzzahlig ist, ist nicht unbedingt sofort ersichtlich. Und wie oben erwähnt, wäre erstmal zu zeigen, daß die Folgenglieder a_n ab einem Index konstant sind.

28.11.2007, 10:49

Ash

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Zitat:

Original von Ash
Also ich muss beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} | a_n - a | < \epsilon <=> | a - a | < \epsilon <=> | 0 | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Da der abstand offensichtlich für jedes $\begin{eqnarray*} n_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, hab ich doch damit bewiesen, dass für jeden index die Folgfe konstant ist, oder ist dass mal wieder nur meine eigene Logik ...?

28.11.2007, 11:00

klarsoweit

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In der Tat. Wieso sollte aus $\begin{eqnarray*} | a_n - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$ folgen, daß a_n = a ab einem Index N_0 ist? Wenn man das wüßte, wäre die Folge in der Tat dann konstant.

28.11.2007, 11:59

Ash

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Mhhh, wenn es nicht ausreichend ist, nachdem man gezeigt hat, dass der Abstand für jeden Index n für die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu a immer 0 ist - also konstant ist - für die Aussage, dass die Folge konstant ist, wie soll ich stattdessen vorgehen...

ich muss mir die kurseinheit wohl zum xten mal nochmal durcharbeiten... irgendwie hab ich da wohl recht wenig verstanden... blödes mathe, obwohl das früher mein absolutes lieblingsfach war... schluck, freu ich mich jetzt schon auf die klausur - falls ich die blöden 160 punkte zusammen bekomme...

28.11.2007, 12:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ash
Mhhh, wenn es nicht ausreichend ist, nachdem man gezeigt hat, dass der Abstand für jeden Index n für die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu a immer 0 ist -

Ebenfalls Hmmm. Ich würde gerne wissen, wo du das gezeigt hast? Bisher haben wir nur, daß a_n gegen a konvergiert, also daß $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für jedes beliebige epsilon > 0 ist.

28.11.2007, 12:37

Ash

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Ich habe durch die gleichung doch gezeigt, dass der abstand 0 ist -> also nicht nur dass die Funktion gegen einen wert konvergiert, sondern auch, dass der abstand immer 0 ist, also auf dem wert liegt, oder versteh ich da jetzt komplett was falsch?

==> also wenn ich mir geometrisch das vorstelle und eine funktion ala f(x) = 3 habe und dann eine Abstandberechung für jedes f(x) zu 3 mache und dabei 0 rauskommt, dann sieht man doch, dass für jedes f(x) kein Abstand zu 3 vorhanden ist...

Da es aber für den Beweis einer konstanten Folge nichtausreichend ist, wie beweise ich das stattdessen...? Welchen Ansatz muss ich da verfolgen?

28.11.2007, 13:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ash
Ich habe durch die gleichung doch gezeigt, dass der abstand 0 ist

Nochmal: durch welche Gleichung?

Du hast irgendwann mal geschrieben:
$\begin{eqnarray*} | a_n - a | < \epsilon <=> | a - a | < \epsilon <=> | 0 | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Da hast du für a_n einfach a eingesetzt. Aber wer sagt dir, daß du das einfach machen darfst?

Zitat:

Original von Ash
==> also wenn ich mir geometrisch das vorstelle und eine funktion ala f(x) = 3 habe und dann eine Abstandberechung für jedes f(x) zu 3 mache und dabei 0 rauskommt, dann sieht man doch, dass für jedes f(x) kein Abstand zu 3 vorhanden ist...

Das ist zwar prinzipiell richtig. Aber wir wissen ja gar nicht, ob die Folge konstant ist. Die Folge kann irgendwas sein.

Zitat:

Original von Ash
Da es aber für den Beweis einer konstanten Folge nichtausreichend ist, wie beweise ich das stattdessen...? Welchen Ansatz muss ich da verfolgen?

Wir waren doch mal an dem Punkt angelangt, daß wir aus der Konvergenz der Folge a_n wissen, daß ab einem N_0 gilt, daß $\begin{eqnarray*} | a_n - a | < \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ist. An dieser Stelle hatte ich dich gebeten, daß du mal das Intervall aufschreibst, in dem die a_n liegen. Das hast du ansatzweise versucht, bis dann aber abgewichen.

28.11.2007, 13:42

Ash

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Klarsoweit - erst ienmal danke für deine Hilfe...

Die gleichung | a_n - a | < epsilon

da dachte ich mir, da a_n = a ist, setze einfach mal a ein - wenn ich das nicht darf, dann kann ich es verstehen, dass das natürlich falsch ist.

| a_n - a | < 1/2
==> hier kriegen wir dann das intervall

a_n - a < 1/2 < a_n + a

==>1. a_n - a < 1/2 <=> a_n < 1/2 +a
2. a_n +a > 1/2 <=> a_n > 1/2 -a

==> a - 1/2 < a_n < 1/2 + a

also wenn a = 5 wäre, dann erstreckt sich das Intervall über 4 1/2 < a_n < 5 1/2

da hier nur ein ganzzahliger wert reinpasst, nämlich 5 und auch kein anderer Wert (4 < 4 1/2 und 6 > 5 1/2), muss 5 (a) der einzige mögliche wert sein...

28.11.2007, 14:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ash
a_n - a < 1/2 < a_n + a

Die rechte Seite der Ungleichung ist falsch.

Zitat:

Original von Ash
2. a_n +a > 1/2 <=> a_n > 1/2 -a

Das ist dann auch falsch.

Zitat:

Original von Ash
==> a - 1/2 < a_n < 1/2 + a

Das ist komischerweise dann richtig.

Zitat:

Original von Ash
also wenn a = 5 wäre, dann erstreckt sich das Intervall über 4 1/2 < a_n < 5 1/2

da hier nur ein ganzzahliger wert reinpasst, nämlich 5 und auch kein anderer Wert (4 < 4 1/2 und 6 > 5 1/2), muss 5 (a) der einzige mögliche wert sein...

Prinzipiell kein schlechter Gedanke. Allerdings gehst du immer von dem a aus. Von dem wissen wir aber gar nichts. Betrachte doch mal die a_n. Was kann man über diese sagen?

28.11.2007, 15:37

Ash

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Da ich gerade auf der Arbeit bin, will ich jetzt mal den Fehler in der Ungleichung einfach jetzt net versuchen zu lösen, spielt ja keine Rolle... smile

smile

Okay - klingt irgendwie vernünftig a_n sich anzuschauen, da wir ja etwas über a herausfinden wollen - also:

| a_n - a | < 1/2 <=> a - 1/2 < a_n < a + 1/2 liegen...

wenn jetzt die Ungleichung wieder falsch ist, dann geb ichs für jetzt auf - offensichtlich dachte ich immer, dass ich in Mathe gut war - und muss nu feststellen, dass ich wohl zu blöd für das ganze Mathegeschiss (Sorry der Ausdruck) bin...

Also a_n ist € Z - also dürfen wir nur ganzzahlige a einsetzen. Wenn wir ein ganzzahliges a einsetzen, dann erstreckt sich das Intervall über (a-1/2; a+1/2).

Daraus erkennt, man, damit die ungleichung erfüllt ist, dass genau nur ein wert € a_n (€ Z) eingesetzt werden darf.

28.11.2007, 18:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ash
Okay - klingt irgendwie vernünftig a_n sich anzuschauen, da wir ja etwas über a herausfinden wollen - also:

| a_n - a | < 1/2 <=> a - 1/2 < a_n < a + 1/2 liegen...

Was soll das "liegen"? Das macht doch keinen Sinn hier. Laesst du es weg, ist es OK. Denn die Ungleichung (uebrigens keine Gleichung, wie du oben schriebst) ist richtig. Sie gilt zumindest fuer alle n, die groesser als ein bestimmtes N sind.

Zitat:

Original von Ash
Also a_n ist € Z - also dürfen wir nur ganzzahlige a einsetzen.

Wie kommst du darauf? Es stimmt ja, aber das muss man beweisen. Der Ansatz mit der Ungleichung da oben ist schon ganz richtig. Noch klarer wird es, wenn du 1/4 statt 1/2 nimmst...

Zitat:

Original von Ash
Wenn wir ein ganzzahliges a einsetzen, dann erstreckt sich das Intervall über (a-1/2; a+1/2).

Habe ich dir nicht oben schon einmal gesagt, dass diese Ausdrucksweise Unsinn ist? Wozu schreibe ich dir ueberhaupt etwas, wenn du es ignorierst. Auch meine Aufforderung, deine falschen Ausdrucksweisen zu korrigieren, hast du in den Wind geblasen.

28.11.2007, 19:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ash
| a_n - a | < 1/2 <=> a - 1/2 < a_n < a + 1/2 liegen...

Nachdem das jetzt geklärt ist (bis auf das Wörtchen "liegen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

), können wir uns wieder dem Beweis zuwenden: Überlege, wieviel ganze Zahlen in dem Intervall liegen. Die Länge des Intervalls gibt dazu den entscheidenden Hinweis.

29.11.2007, 10:04

Ash

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Danke für eure hilfe... Okay versuch ich mal meine ausdrucksweise zu ändern...

| a_n - a | < 1/2 <=> a - 1/2 < a_n < a + 1/2

==>

1. a > 1/2 - a_n
2. a < 1/2 + a_n

Die Länge des Intervalls ist 1.

Da in der Aufgabenstellung steht, dass a_n € Z ist, dann darf für a_n nur ganzzahlige Werte eingesetzt werden.

Wenn ich zu einem ganzzahligem Wert 1/2 addiere oder subtrahiere, dann ist diesem Intervall nur eine einzige ganzzahlige Zahl vorhanden, nämlich a_n selber.

Aber was habe ich damit gezeigt?

29.11.2007, 10:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ash
1. a > 1/2 - a_n
2. a < 1/2 + a_n

Laß das mal weg, das bringt ja nichts.

Zitat:

Original von Ash
Wenn ich zu einem ganzzahligem Wert 1/2 addiere oder subtrahiere, dann ist diesem Intervall nur eine einzige ganzzahlige Zahl vorhanden, nämlich a_n selber.

Hier wird auch nichts mehr addiert oder subtrahiert, sondern einfach nur lapidar festgestellt, daß in einem offenen Intervall der Länge 1 maximal eine ganze Zahl enthalten sein kann. Da die a_n ganzzahlig sind, aber auch in diesem Intervall enthalten sind, müssen die a_n mit dieser einen ganzen Zahl übereinstimmen. Das heißt, alle a_n sind ab einem Index N_0 konstant. Und hurra, das wollten wir ja zeigen. Hurra, hurra, hurra, wir haben es geschafft. smile

smile

29.11.2007, 10:34

Ash

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Danke - nun versteh ich auch mein problem, es ist ein OFFENES intervall...

Hrhr, ich glaube falls ich diese prüfung schaffe, werde ich bei einer menge menschen etwas offen haben - schreit ja schon fast nach einer kleinen Kneipentour Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

Ich werde diese woche nochmal die kurseinheit durchgehen - vlt ist mein verständnis dafür etwas gestiegen...

29.11.2007, 22:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ash
Danke - nun versteh ich auch mein problem, es ist ein OFFENES intervall...

Wenn du 1/4 statt 1/2 nimmst, ist es recht egal, ob das Intervall offen oder abgeschlossen ist.

30.11.2007, 09:31

Teddy

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Zitat:

Original von tmo

nun steht aber in der aufgabenstellung "genau dann", was bedeutet, dass du zeigen sollst, dass die aussagen äquivalent zueinander sind.
somit musst du noch die andere richtung beweisen:

$\begin{eqnarray*} a_n \text{ konstant ab gewissem index } \Longleftarrow a_n \text{ konvergiert } \end{eqnarray*}$

und genau dabei hilft dir der ansatz mit dem Cauchy-Kriterium.

Ich hab' schon mal darauf geantwortet, weiß der Teufel, wo die Antwort geblieben ist. Das kann doch nicht so stehen bleiben. Das heißt doch: Aus Konvergenz folgt Konstanz. Und das ist einfach falsch.

30.11.2007, 09:55

klarsoweit

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Tut mir leid, Teddy. Hier war noch die Voraussetzung, daß die Folge (a_n) ganzzahlig ist. Und daher folgt das sehr wohl. smile

smile

30.11.2007, 13:26

Teddy

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Sorry, hab' ich übersehen. Alles klar.

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