Geradenschar als Ebene darstellen

25.11.2007, 15:45

Bebbo

Geradenschar als Ebene darstellen

Hallo Forum,
ich habe bei dieser Übungsaufgabe mal eine kleine Verständnisfrage.

Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} ga : \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2a \\ 3a+3 \\ 2a+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass alle ga in einer Ebene E liegen.

Als Lösung wurde angegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2a \\ 3a+3 \\ 2a+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
E = ...

Dabei ist mir absolut nicht klar, wie man dort a als Parameter isoliert hat. Welcher Trick bzw. welche Umformungsschritte wurden angewendet?

Und noch zwei kleine Fragen:
Wenn ich 4 Punkte habe und zeigen soll, dass diese in einer Ebene liegen, dann reicht es doch zu zeigen, dass die 3 zu bildenden Vektoren linear abhängig sind, oder?

Und angenommen ich habe einen Schnittpunkt für eine Geradenschar berechnet, bei dem jetzt ein Parameter mit in x1, x2 und x3 ist. Nun soll ich eine Gerade h angeben, auf der alle Schnittpunkte dieser Schar liegen. Normalerwiese kann man ja versuchen den Parameter zu isolieren und gleich als Parameter für die gesuchte Gerade verwenden. Aber wäre es denn auch möglich sich für den Parameter im Schnittpunkt 2 Werte zu wählen womit man 2 Schnittpunkte erhält und dann eine Gerade der beiden Punkte bildet?

25.11.2007, 17:23

Poff

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RE: Geradenschar als Ebene darstellen

Zitat:

Original von Bebbo

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2a \\ 3a+3 \\ 2a+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
E = ...

Betrachte das eher mal so

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2a \\ 3a+3 \\ 2a+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} == \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \nu \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 17:52

Bebbo

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Ahhhhh.... klasse!
Vielen Dank, jetzt ist mir alles klar. Also bei dieser Aufgabe grundsätzlich versuchen zwei verschiedene Parameter zu finden, in diesem Fall Lambda und Alpha*Lambda!

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