Wert der Summe

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25.11.2007, 16:25	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert der Summe Hallo ihr, ich bin gerade an folgender Aufgabe die lautet: Welchen Wert hat die folgende Summe? $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray}$ Ich habe hier eine Lösung dazu und weis nicht genau was da gemacht wurde, vielleicht versteht das jemand von euch und kann mir helfen: $\begin{eqnarray} \frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}=\frac{Ak+Bk+A}{kk+1)} \end{eqnarray}$ mit A+B=0 und A=1 $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n~(\frac{1}{k}- \frac{1}{k+1})=1- \frac{1}{n+1}= \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$
25.11.2007, 16:26	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
ich frage mich hauptsächlich was das mit A und B soll...
25.11.2007, 16:34	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe halt nicht wie man dann auf das 1- (1/(n+1) und davon dann auf das n/(n+1) kommt
25.11.2007, 16:38	ethused-Earthling	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1- \frac {1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac {1}{n+1}= \frac {n+1-1}{n+1}= \frac {n}{n+1} \end{eqnarray}$
25.11.2007, 16:40	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke schonmal, aber ich weis ja nicht wie man vom ansatz her auf das 1- (1/(n+1) überhaut kommt....
25.11.2007, 16:40	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Steve, 1) editiere deine Beiträge, dann kannst du etwas dazu ergänzen. Das erhöht die Übersichtlichkeit. 2) Bist du selbst darauf gekommen, oder ist das nur die Lösung? Das ganze nennt sich Partialbruchzerlegung. Außerdem muss man hier noch Teleskopsumme anwenden. Also: Du beweist, dass $\begin{eqnarray} \cfrac{1}{k\cdot(k+1)}=\cfrac{1}{k}-\cfrac{1}{k+1} \end{eqnarray}$ Das kannst du durch nachrechnen machen. Wie man auf diese Zerlegung kommt: ein Verfahren einen Bruch in Partialbrüche zu zerlegen. Da gibt es mehrere. Man kann es hier aber auch raten. Dann schreibst du dir mal die Summe aus. Dann siehst du, dass sich benachbarte Glieder bis auf wenige wegheben (Teleskopsumme). Dann kommst du auf den Wert der Summe.
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25.11.2007, 16:43	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
hey danke vektorraum, scheinst es ja voll drauf zu haben, hast mir vor kurzem schon geholfen.... Werde mir nun mal die Partialbruchzerlegung anschauen und dann nochmal posten wenns net klar wird...
25.11.2007, 16:55	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe zwar was gefunden bzgl partialbruchzerlegung und ich gehe davon aus das sich das A und das B auch darauf beziehen, aber trotzdem weis ich nicht wie man es zerlegt damit ich weis das 1-(1/(1+n)) herauskommt. Wenn man doch mal die Summe auflöst kommt doch folgendes raus: $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+....+( \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ und wie kommt man nun auf das ergebnis, ich weis es ist schwer zuz erklären mit den schreiben, aber villeicht hilft mir trotzdem jemand
25.11.2007, 17:06	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Google mal bei Wikipedia nach Teleskopsumme. Schreibe dir auch mal ein paar mehr Glieder auf, am Anfang und am Ende. Dann siehst du, dass sich benachbarte Glieder bis auf wenige wegheben. Die Klammern kannst du erstmal vernachlässigen. Wegen der PBZ: du zerlegst den Nenner immer erst in Linearfaktoren. Hier ist das schon der Fall: $\begin{eqnarray} \cfrac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray}$ Dann macht man immer den allgemeinen Ansatz $\begin{eqnarray} \cfrac{1}{k(k+1)}=\cfrac{A}{k}+\cfrac{B}{k+1} \end{eqnarray}$ Jetzt heißt es, A und B zu bestimmen. Da gibt es mehrere Möglichkeiten: ich bevorzuge immer die Methode mittels Koeffizientenvergleich. Dabei multipliziert man zunächst mit dem Nenner k(k+1) durch und erhält: $\begin{eqnarray} 1=\cfrac{A\cdot k(k+1)}{k}+\cfrac{B\cdot k(k+1)}{k+1} \end{eqnarray}$ Jetzt kürzt sich einiges weg, d.h. der Ansatz ist nur noch $\begin{eqnarray} 1=A(k+1)+B\cdot k \end{eqnarray}$ Nun ausrechnen: $\begin{eqnarray} 1=Ak+A+Bk~\Leftrightarrow~1=k(A+B)+A \end{eqnarray}$ Nun gilt es die Koeffizienten mittels Koeffizientenvergleich zu bestimmen, d.h. $\begin{eqnarray} 0=A+B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=A \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich $\begin{eqnarray} A=1 \end{eqnarray}$ und mit der ersten Gleichung $\begin{eqnarray} 0=1+B~\Leftrightarrow~B=-1 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \cfrac{1}{k(k+1)}=\cfrac{1}{k}-\cfrac{1}{k+1} \end{eqnarray}$ Fertig.
25.11.2007, 17:16	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für die super ausführliche erklärung, kannst du mir nun noch sagen wie man auf das $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{n+1}= \frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ kommt? Sorry, habe gerade bei wikipedia nachgeschaut und nun ist alles klar, vielen dank für deine hilfe
25.11.2007, 17:20	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptnenner bilden und dann zusammenfassen: $\begin{eqnarray} 1=\cfrac{n+1}{n+1} \end{eqnarray}$
25.11.2007, 17:22	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
bist ein super kerl....
25.11.2007, 17:36	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
eine frage hätt ich noch, ob ichs verstanden habe, ich habe hier eine ähnliche aufgabe, die lautet $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~ \frac{1}{k(k-1} \end{eqnarray}$ ist dann hier die Lösung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} - \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$
25.11.2007, 17:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
nein. du musst die partialbruchzerlegung von neuem durchführen oder einfach im zähler $\begin{eqnarray} 1 = (1-k)+k \end{eqnarray}$ schreiben.
25.11.2007, 17:51	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich die partialbruchzerlegung neu ausführe kommt doch folgendes heraus: $\begin{eqnarray} - \frac{1}{k} + \frac{1}{k-1} \end{eqnarray}$ und wenn ich nun die teleskopsumme nehme, ist das doch der erste minus dem letzten Summanden, also $\begin{eqnarray} - \frac{1}{2}+ \frac{1}{n-1} \end{eqnarray}$ oder liege ich jetzt falsch
25.11.2007, 18:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
diese reihe würde gegen $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ konvergieren. wie soll denn eine summe, deren summanden alle positiv sind, gegen einen negativen wert konvergieren? schreib dir mal die partialsumme für n = 4 auf. PS: die PBZ war aber richtig, also fang nicht ganz von vorne an
25.11.2007, 20:04	Steve08	Auf diesen Beitrag antworten »
das wäre doch dann für n=4 $\begin{eqnarray} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \end{eqnarray}$

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