laplacescher entwicklungssatz

25.11.2007, 19:44

g0ju

laplacescher entwicklungssatz

moin

ich soll unter ausnutzung der eigenschaften von determinanten folgende 4x4 matrix in eine 3x3 matrix überführen und dann die determinante berechnen.
mein versuch war dieser:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
entwickeln nach 1. zeile:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3& 4 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
danach den skalaren wert vor den determinanten mit reinrechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 3& 4 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 6 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
dann addieren und subtrahieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & -8 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

so, dann rechne ich die mit dem sarrus aus und raus kommt: 0
tolle wurst... verwirrt

meine frage an euch lautet: was hab ich falsch gemacht?

danke schonmal für die mühen!

25.11.2007, 20:03

derkoch

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RE: laplacescher entwicklungssatz

Zitat:

Original von g0ju

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 3& 4 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 6 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
dann addieren und subtrahieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & -8 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

so, dann rechne ich die mit dem sarrus aus und raus kommt: 0
tolle wurst... verwirrt

meine frage an euch lautet: was hab ich falsch gemacht?

danke schonmal für die mühen!

Kannst du mal kurz erläutern was gemacht wurde? Ich komme so schnell nicht dahinter?! Augenzwinkern

25.11.2007, 20:29

g0ju

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ich hab die koeffizienten einfach mit jedem element der matrix multipliziert. die zweite fällt weg, da der koeffizient 0 ist.
danach hab ich die matrizen zusammen addiert und die letze abgezogen.

joa. so war das. Augenzwinkern

25.11.2007, 20:31

kiste

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$\begin{eqnarray*} \det \left( A + B \right) \neq \det A + \det B \end{eqnarray*}$ wie man sich leicht an Gegenbeispielen verdeutlichen kann.

Bis auf eine 3x3-Matrix kannst du es also nicht bringen, die 3 3x3 Matrizen musst du einzeln ausrechnen

25.11.2007, 20:59

g0ju

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das ist komisch, weil die aufgabenstellung lautet folgendermaßen:

"unter ausnutzung von eigenschaften der determinanten führe man folgende determinante auf eine dreireihige determinante zurück und berechne sie"

also gibt es definitiv keine möglichkeit?

25.11.2007, 21:04

kiste

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Naja du kannst mit Hilfe von Zeilen/Spaltenadditionen die Matrix auf eine Gestalt bringen in der es eine Zeile/Spalte mit nur einer Zahl gibt die nicht 0 ist und dann den Entwicklungssatz benutzen

25.11.2007, 21:07

g0ju

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denkst, du dass der da mit der aufgabe gemeint haben könnte?

25.11.2007, 21:10

kiste

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Wenn ihr diese Rechenregeln hattet auf jeden Fall(insbesondere wenn bei der Aufgabenstellung das eine auch unterstrichen ist)

25.11.2007, 21:12

g0ju

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ja, ist es. so ein fieser prof... danke für deine hilfe.
bei problemen melde ich mich nochmal in diesem thread.

27.06.2009, 17:48

Sleepy77

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Nur der Vollständigkeit halber:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
entwickeln nach 1. zeile:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3& 4 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das ist ja im Prinzip die Lösung:

Die erste Determinante ist:35 die zweite kann vernachlässigt werden, die dritte Determinante ist -5 und die vierte -20

Sprich Det(A)=1*35+1*(-5)-2*(-20) = 70

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