lim: n -> unendl [(n²-49):(n²+7n)]^2n

25.11.2007, 19:45

limes_gegen_0

lim: n -> unendl [(n²-49):(n²+7n)]^2n

lim
n -> unendlich [(n²-49) : (n²+7n)]^2n

lautet eine Aufgabe auf meinem Übungsblatt. und ich weiß einfach keinen Weg dies zu lösen. hat jemand einen Rat?

beste Grüsse

25.11.2007, 19:53

kiste

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Vereinfache doch erstmal durch ausklammern und 3. binomische Formel.
Dann kommst du auf etwas das der Grenzwertdarstellung der eulerschen Zahl nahe kommt

25.11.2007, 20:18

limes_gegen_0

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hmm also du meinst bis

[(n+7) : (n-7)]^2 ?

25.11.2007, 20:24

kiste

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Nein nicht im geringsten.
Keine Ahnung wie du auf diese Umformung kommst. Schau deine Rechnung nochmal genauer an oder schreibe hier deine Rechenschritte auf.

25.11.2007, 20:45

limes_gegen_0

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meine Schritte waren:

[(n²-49) : (n²+7n)]^2n
= [(n+7) (n-7) : (n-7)]^2n l kürzen
= [ (n+7) : (n-7)]^2n

25.11.2007, 20:50

kiste

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Ok, ich hoffe du studierst kein Mathe.

Ich schreibe das nocheinmal schöner:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n^2-49}{n^2+7n}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \left(\frac{(n+7)(n-7)}{n-7}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$ Der Zähler ist in Ordnung, aber wie kommt man auf diesen Nenner? Es ist $\begin{eqnarray*} n^2+7n = n(n+7) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} = \left(\frac{(n+7)}{n-7}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$ Hier kürzt du immer Zähler was weg, aber im Nenner nicht?

25.11.2007, 21:04

limes_gegen_0

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handelt man so etwas "banales" überhaupt im Mathe Studium ab? stimmt, ich habe im Nenner ne binomische Formel angewandt, die gar nicht zutreffend ist

aber warum?:
[(n+7) (n-7) : (n (n-7) )]^2n
= [(n+7) : (n-7)] ^2n ?

nicht?:
[(n+7) (n-7) : (n (n-7) )]^2n
=[(n+7) : n]^2

25.11.2007, 21:08

kiste

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Zitat:

Original von limes_gegen_0
smile

handelt man so etwas "banales" überhaupt im Mathe Studium ab?

Natürlich, irgendwo muss man das ja lernen.

Ich habe dir nur deine Rechnung nochmal hingeschrieben, mit Fehlern. Diese hat natürlich nicht gestimmt.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n^2-49}{n^2+7n}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \left(\frac{(n+7)(n-7)}{n(n+7)}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

Jetzt n+7 kürzen, was du falsch gemacht hast.

Versuche doch bitte mit dem Formeleditor hier die Formeln zu schreiben, sie werden dadurch um einiges lesbarer. Drücke am besten auf zitieren bei mir um zu schauen wie es funktioniert.

25.11.2007, 21:21

limes_gegen_0

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ok hm! so?

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{(n+7)(n-7)}{n(n+7)}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left(\frac{n-7}{n}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 21:23

kiste

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Wunderbar, jetzt kann man noch den Bruch auseinander ziehen und man kommt
$\begin{eqnarray*} e = \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ schon ziemlich nahe

25.11.2007, 21:39

limes_gegen_0

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ähm ähm. ich probiere hier grade rum, sieht schlecht aus...! was meinst du mit auseinander ziehen?

25.11.2007, 21:44

kiste

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$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} = \frac a c + \frac b c \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 21:53

limes_gegen_0

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$\begin{eqnarray*} (\frac{n-7}{n}) ^{2n} = (\frac n n - \frac 7 n) ^{2n} = ( 1 - \frac 7 n ) ^{2n} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 21:58

kiste

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Ok, jetzt ist
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x \end{eqnarray*}$ , kannst du damit jetzt den Grenzwert berechnen?

25.11.2007, 22:15

limes_gegen_0

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leider nicht, das steht genau so in meiner Formelsammlung und sagt mir gar nichts. was einsetzen oder auflösen oder umformen?

25.11.2007, 22:20

kiste

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x=-7? Und dann noch eine Potenzregel um die ^2n in 2mal ein ^n aufzuspalten

25.11.2007, 22:39

tmo

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$\begin{eqnarray*} \frac{7}{n} = \frac{14}{2n} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 22:47

limes_gegen_0

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deine Antwort ist auf die 2. Seite gerutscht und daher übersehen.

also der Exponent ist mit einer Regel unter den Bruch gebracht worden, könnt ihr mir sagen wie die lautet?

25.11.2007, 22:55

limes_gegen_0

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Zitat:

Original von limes_gegen_0
$\begin{eqnarray*} (\frac{n-7}{n}) ^{2n} = (\frac n n - \frac 7 n) ^{2n} = ( 1 - \frac 7 n ) ^{2n} \end{eqnarray*}$

also das ^2n. weiß nicht wie ich das los werde... !!!

25.11.2007, 22:56

tmo

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kiste und ich haben dir doch beide jeweils eine möglichkeit genannt.

25.11.2007, 23:10

limes_gegen_0

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Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} \frac{7}{n} = \frac{14}{2n} \end{eqnarray*}$

mir ist nicht klar wie du auf diesen oberen Schritt kommst. was dazwischen passiert

25.11.2007, 23:36

kiste

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Das kann nicht dein Ernst sein. Es wurde mit 2 erweitert!

Den Rest der Aufgabe solltest du wirklich selbst schaffen

25.11.2007, 23:57

limes_gegen_0

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$\begin{eqnarray*} ( 1 - \frac 7 n ) ^{2n}= \frac{7}{n} \end{eqnarray*}$

der Schritt war gemeint

26.11.2007, 00:00

kiste

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Der ist offensichtlich falsch, tmo meinte du sollst diese Gleichheit von ihm benutzen nicht das es gleich zu deiner Gleichung ist.
Naja ich bin jetzt schlafen

26.11.2007, 00:10

limes_gegen_0

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mir auch bewusst, dass der falsch ist.

weiß aber nicht wie man den Exponenten, ob mit einer Erweiterung oder Gleichsetzung, loswerden soll, bzw. mit dem "Tipp" zu Arbeiten.

na egal, bis hier hin steht ja zumindest schon ein Ansatz. danke dir dafür & gute Nacht!

26.11.2007, 09:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von limes_gegen_0
$\begin{eqnarray*} ( 1 - \frac 7 n ) ^{2n}= \frac{7}{n} \end{eqnarray*}$

der Schritt war gemeint

Gemeint war: $\begin{eqnarray*} ( 1 - \frac 7 n ) ^{2n} = ( 1 + \frac{-14}{2n})^{2n} \end{eqnarray*}$

Setze jetzt m=2n.

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lim: n -> unendl [(n²-49):(n²+7n)]^2n

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