Grenzwerte von Folgen

25.11.2007, 19:48

chipbit

Grenzwerte von Folgen

Hallo,
ich hab folgende Aufgabe:
Zeigen Sie unter Verwendung der Grenzwertsätze die Konvergenz und bestimmen Sie die Grenzwerte der untenstehenden Folgen. Geben Sie hierbei jeweils an welche Grenzwertsätze Sie verwenden.

$\begin{eqnarray*} d_n= \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} e_n=\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Also, bei $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ habe ich mir eben Zähler und Nenner einzeln angesehen und mir überlegt wie die sich verhalten wenn n immer größer wird und komme dann auf einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ oder? Aber was wird daraus? Und das war ja nur eine Überlegung wie kann ich das Ganze aber zeigen bzw. wozu verwende ich hier die Grenzwertsätze?

Wenn ich bei $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ gleiche Überlegung anstelle würde hier die Folge meiner Meinung nach gegen 0 konvergieren. Aber auch hier weiß ich wieder nicht genau wie ich das laut Aufgabenstellung machen soll.
Klingt vielleicht blöd, aber Mathe ist leider nicht so richtig mein Fall, bitte helft mir.

25.11.2007, 19:52

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

begründe bei der ersten folge folgende abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} \leq \frac{n^{n-1}}{n^n} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 20:21

chipbit

Auf diesen Beitrag antworten »

wie begründen? wie bist du denn jetzt überhaupt auf diese Ungleichung gekommen?
naja, egal was man für n einsetzt ist immer $\begin{eqnarray*} n! \le n^{n-1} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 20:29

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das beweist du entweder per induktion oder begründest es, indem du jeden faktor von n! einzeln mit jedem faktor von $\begin{eqnarray*} n^{n-1} \end{eqnarray*}$ vergleichst.

25.11.2007, 20:35

chipbit

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, und wenn ich das gemacht habe, wie mach ich denn dann weiter? also was bringt mir das genau?

25.11.2007, 20:39

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

nun hast du eine nullfolge als majorante. was ist damit also gezeigt?

wenn du jedoch unbedingt die grenzwertsätze anwenden sollst, dann kannst du es so machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot ... \cdot \frac{n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} \cdot ... \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} = ... \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 21:13

chipbit

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das soll ich wohl machen, Finger1

aber warum ich auf das, was du da grad geschrieben hast nicht selbst gekommen bin ??

25.11.2007, 21:18

chipbit

Auf diesen Beitrag antworten »

mh, okay dann würde doch der Grenzwert 0 sein, nicht wahr?

25.11.2007, 21:25

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
nun hast du eine nullfolge als majorante. was ist damit also gezeigt?

wenn du jedoch unbedingt die grenzwertsätze anwenden sollst, dann kannst du es so machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot ... \cdot \frac{n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} \cdot ... \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} = ... \end{eqnarray*}$

@tmo: in diesem Fall mag es möglicherweise das gleiche Ergebis liefern, jedoch möchte ich darauf hinweisen: Es gibt keine Regel, eine beliebige (d.h. von n abhängige) Anzahl von Limiten auseinanderzuziehen. Die von dir zitierten Grenzwertsätze beziehen sich auf endliche Summen und Produkte.

Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\cfrac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\cfrac{1}{n}\right)\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\cfrac{1}{n}\right)\cdot \ldots\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\cfrac{1}{n}\right)=1\cdot 1\cdot 1\cdot\ldots\cdot 1=1 \end{eqnarray*}$

Das ist jedoch falsch, da der Grenzwert bekanntlich e ist.

25.11.2007, 21:45

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, da hab ich mich geirrt.

25.11.2007, 21:59

chipbit

Auf diesen Beitrag antworten »

aha, und wie wäre das denn jetzt richtig? verwirrt

25.11.2007, 22:00

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

mit der majorante ist es auf jeden fall richtig.

25.11.2007, 22:21

chipbit

Auf diesen Beitrag antworten »

mh, okay, ich denke ich muss es aber leider mit den Grenzwertsätzen machen. Naja, trotzdem danke für die Mühe und Hilfe, ich versuch noch nen bisserl dran rumzupuzzeln. Vielleicht hab ich ja doch noch ne Eingebung.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwerte von Folgen

Verwandte Themen