Poissonsches Zählmaß - Laplacefunktional

25.11.2007, 23:14	Helge Schneider	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonsches Zählmaß - Laplacefunktional Ich wäre für einen Tipp zu dieser Aufgabe dankbar: Sei $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein Poissonsches Zählmaß im $\begin{eqnarray} \mathbb R^d \end{eqnarray}$ mit Intensitätsmaß $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ folgendes Laplace-Funktional hat: $\begin{eqnarray} L_N(f) = exp\left({-\int_{\mathbb R^d} (1-e^{-f(x)})\mu(dx)}\right) \end{eqnarray}$
26.11.2007, 10:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich musste mich erstmal schlau machen, was man denn unter dem Laplace-Funktional eines solchen Maßes versteht - anscheinend ist dies $\begin{eqnarray} L_N(f) := E\left[ \exp\left( - \int\limits_{\mathbb{R}^d} ~ f(x) ~ N(\dd x) \right) \right] \end{eqnarray}$ Hmmm, ich würde es mir zunächst für Treppenfunktionen $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_k a_k1_{B_k}(x) \end{eqnarray}$ mit paarweise disjunkten $\begin{eqnarray} B_k \end{eqnarray}$ klarmachen: Für die ist $\begin{eqnarray} \int\limits_{\mathbb{R}^d} ~ f(x) ~ N(\dd x) = \sum_k a_k N(B_k) \end{eqnarray}$ , und wegen der Unabhängigkeit der Anzahlen $\begin{eqnarray} N(B_1),N(B_2),\ldots \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} L_N(f) = \prod\limits_k E[\exp(-a_k N(B_k))] \end{eqnarray}$ Gemäß $\begin{eqnarray} N(B) \sim \operatorname{Poisson}(\mu(B)) \end{eqnarray}$ folgt nun $\begin{eqnarray} E[\exp(-a N(B))] = \sum\limits_{j=0}^{\infty} \exp(-aj)\cdot \frac{(\mu(B))^j}{j!}\exp(-\mu(B)) = \exp(-\mu(B)) \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{(\exp(-a)\mu(B))^j}{j!} = \exp(-(1-\exp(-a))\mu(B)) \end{eqnarray}$ und demnach dann $\begin{eqnarray} L_N(f) = \prod\limits_k \exp(-(1-\exp(-a_k))\mu(B_k)) = \exp\left( -\sum\limits_k (1-\exp(-a_k))\mu(B_k) \right) = \exp\left( -\int\limits_{\mathbb{R}^d} ~ (1-e^{-f(x)}) ~ \mu(\dd x)\right) \end{eqnarray}$ . Für beliebige Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dann über die übliche Erweiterungsprozedur (?) - da bin ich dann ohne Nachschauen auf etwas unsicherem Boden.
29.11.2007, 09:29	Helge Schneider	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, an eine "algebraische Induktion" hatte ich schon gar nicht mehr gedacht... Gruß

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