konvergenz

26.11.2007, 13:03

gabbo

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konvergenz

untersuchen sie mit hilfe der definition auf konvergenz.

a) $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n²+1}{3n²+7} \end{eqnarray*}$

a)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1 \end{eqnarray*}$

ich weis jetzt nicht was mit der wurzel ist, ob man die miteinbeziehen muss oder nicht.

b)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{n²+1}{3n²+7}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

die 1/3 hab ich mir jetzt einfach mal dahingeschrieben, bei mir steht das:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n+4}{4n+5} \end{eqnarray*}$

für grosse n (???was das immer auch ist) können die 4 im zähler und die 5 im nenner vernachlässigt werden und der bruch erhält durch kürzen den wert $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

aber was man mit wurzeln und ² macht steht da natürlich nicht!

verwirrt

verwirrt

26.11.2007, 13:11

klarsoweit

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RE: konvergenz

Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1 \end{eqnarray*}$

Falsch. Was passiert denn mit der Wurzel, wenn n beliebig groß wird?

Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{n²+1}{3n²+7}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Prinzipiell richtig, aber du merkst selbst, daß deine Begründung wackelig ist.

Abgesehen davon, steht in der Aufgabe, daß die Konvergenz mittels der Definition bewiesen werden soll. Die Anwendung irgendwelcher Grenzwertsätze kommt also nicht in Frage.

26.11.2007, 13:18

gabbo

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definition???
bei mir steht: eine folge, die einen grenzwert besitzt, heist konvergent.

soll ich jetzt einfach eine folge für an erstellen, und irgendeine umgebung wählen??

verwirrt

verwirrt

26.11.2007, 13:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
definition???
bei mir steht: eine folge, die einen grenzwert besitzt, heist konvergent.

Das ist ein bißchen dürftig. Was heißt denn "einen Grenzwert besitzen"?

26.11.2007, 13:25

gabbo

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z.b. Umgebung bla von (1) , 1 ist der grenzwert in dem es unendlich viele glieder der folge gibt.

verwirrt

verwirrt

26.11.2007, 13:34

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Ja das Grundgerüst der Mathematik ist nun mal, daß man Definitionen kennt.

Definition des Grenzwerts:
Gegeben sei eine Folge (a_n). Dann heißt die Zahl g Grenzwert der Folge (a_n) genau dann, wenn gilt:
Für jedes epsilon > 0 gibt es ein N_0 mit $\begin{eqnarray*} |a_n - g| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N_0.

Und das wäre jetzt zu zeigen. Vermutlich habt ihr das auch mal an einer Beispielaufgabe gemacht.

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26.11.2007, 13:42

gabbo

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hier ist fernlernen angesagt, ich bin auf mich allein gestellt und das was mir zur verfügung steht ist mager, nur fakten, wenig wieso und warum. deshalb bombardiere ich dieses forum täglich.

beispielaufgaben habe ich, aber die sind alle mit gegebenen grenzwert. ich habe mal bei wikipedia geschaut wie man den grenzwert für a) ud b) erstellt, so etwas steht nicht in meinem buch.

verwirrt

verwirrt

26.11.2007, 14:04

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Du brauchst ja auch nicht den Grenzwert "erstellen", sondern du mußt nur eine Vermutung für den Grenzwert haben. Das ist bei Aufgabe a gar nicht so schwer. Von mir aus kannst du mal ein paar Werte für n ausprobieren. Wenn du eine Vermutung hast, dann mußt du zeigen, daß die Definition des Grenzwerts erfüllt ist.

Zitat:

Original von gabbo
hier ist fernlernen angesagt, ich bin auf mich allein gestellt und das was mir zur verfügung steht ist mager, nur fakten, wenig wieso und warum.

Das entbindet nicht von der Verpflichtung, gundlegende Definitionen zu kennen.

26.11.2007, 21:20

gabbo

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ich probiere hier mit n=1 für a) und merke das es da keine grenze gibt.
für a_1 hab ich 0,71 und für a_99999999 hoch 9 (mehr kann mein rechner nicht) hab ich 1 hoch -36.

hm.....???

verwirrt

verwirrt

26.11.2007, 22:58

gabbo

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also wenn bei a) n=1 die zahlen immer kleiner werden, sollte die umgebung 0 sein. ??
nur der radius, es ist doch egal wie gross der ist. ich muss doch nur zeigen, daß in jeder belibigen umgebung unendlich viele glieder der folge liegen. und endlich viele ausserhalb. das kann man mit dieser sache hier beweisen,

$\begin{eqnarray*} |a_n-1|<grenze \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt{n+1}}-1|<grenze \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{1-(\sqrt{n+1})}{\sqrt{n+1}}|<grenze \end{eqnarray*}$

so, jetzt ändert sich die formel irgendwie, ich kann die nicht erstellen!!!????

soll so aussehen wie auf dem bild.

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 08:13

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Zitat:

Original von gabbo
also wenn bei a) n=1 die zahlen immer kleiner werden, sollte die umgebung 0 sein. ??

Nicht die Umgebung (Frage am Rande: Umgebung um was?) sollte Null sein, sondern der Grenzwert.

Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} |a_n-1|<grenze \end{eqnarray*}$

Kannst du mir erklären, was diese Formel mit der Definition des Grenzwerts zu tun hat?

27.11.2007, 12:09

gabbo

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ok, jetzt sehe ich das auch, wenn ist 0 der grenzwert.
die formel ist also auch nicht die richtige, ich lese jetzt schon 3st. und weis nicht weiter im internet ist auch nichts zu finden.
ich brauche da nen paar tipps!!

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt{n+1}}-0|=\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon²}<n+1 =n> \frac{1}{\epsilon²}-1 \end{eqnarray*}$

das ist jetzt auch nicht mit viel verstand erstellt worden, mehr durch ein anderes beispiel übernommen worden, die sache mit dem epsilon verstehe ich nicht und auch nicht warum ich bei b) 1/3 nehmen muss!!!!!

für b) habe ich nun,

$\begin{eqnarray*} 9_n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

analysis bin ich jetzt aha, kommt hier denn auch ab und zu jemand vorbei??

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 12:47

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Das ist doch völlig ok, bis auf den Schluß. Das sollte heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon^2}<n+1 \Leftrightarrow n> \frac{1}{\epsilon^2}-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir also folgendes: wenn du epsilon > 0 beliebig wählst, dann wähle $\begin{eqnarray*} N_0 = \frac{1}{\epsilon^2}-1 \end{eqnarray*}$

Für alle n > N_0 ist dann $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 0 | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Und damit ist die Bedingung der Grenzwertdefinition erfüllt.

EDIT: was hast du denn jetzt bei b gerechnet?

27.11.2007, 13:00

gabbo

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also, das mit b) hab ich mehr geraten als gerechnet, ich dachte wo ² ist muss auch irgendwo wurzel sein! hab mich entschieden das epsilon die bekommt. das problem ist die umstellung der formel, so wie auf meinem bild, nenner nach oben unten bleibt er stehen, soetwas habe ich nochnie gesehen und jetzt soll ich das mal eben so machen,sehr komisch der sprung von geometrie zu dem was ich jetzt machen soll. ich habe sogar schon bei nmeinem institut angerufen, ob die nicht irgendein buch vergessen haben.

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 13:06

klarsoweit

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Die Rechnung auf dem Bild ist soweit ok. Etwas ähnliches mußt du mit deiner Folge auch rechnen. Natürlich hast du da nicht 1/10, sondern epsilon stehen.

Und wenn du Probleme beim Umformen hast, mußt du die etwas konkreter schildern.

27.11.2007, 13:09

gabbo

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ok, nach welchen regeln formt man da um?

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 13:12

klarsoweit

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Nach den ganz normalen Algebraregeln. Schreib doch endlich mal deine Rechnung hin so weit, wie du gekommen bist.

27.11.2007, 13:22

gabbo

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ich habe nichts gerechnet, nur das von dem bild da unten auf b) übertragen und mal einfach ne wurzel für epsilon, das das richtig sein könnte, davon bin ich nicht ausgegangen.
das man beim zweiten schritt a_n mit der formel für a_n ersetzt ist ja klar, aber der 3. schritt wo ales auf einen bruchstrich kommt ist mir fremd!!

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 13:37

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Zitat:

Original von gabbo
das man beim zweiten schritt a_n mit der formel für a_n ersetzt ist ja klar, aber der 3. schritt wo ales auf einen bruchstrich kommt ist mir fremd!!

Ganz normale Bruchrechenregeln: Man addiert bzw. subtrahiert Brüche, indem man diese erst auf den Hauptnenner bringt und dann deren Zähler addiert bzw. subtrahiert.

Aber wie gesagt: andere Rechnungen abkupfern hilft nicht viel. Du mußt schon selbst ins kalte Wasser springen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2007, 14:09

gabbo

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ok, das habe ich schon öfters getan als ich dachte, es ist das gleiche wie brüche ausgleichen,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}-\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

für b)

$\begin{eqnarray*} \frac{n²+1}{3n²+7}- \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n²+1)3}{(3n²+7)3}-\frac{1(3n²+7)}{3(3n²+7)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n²+1)3-1(3n²+7)}{(3n²+7)3} \end{eqnarray*}$

von wegen kenne ich nicht,!!!! unglücklich

unglücklich

Forum Kloppe

und weiter,

$\begin{eqnarray*} \frac{3n²+3-3n²+(-7)}{9n²+21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{9n²+21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9n²+21>\frac{-2}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9n>\frac{-2}{\sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n>\frac{-2}{9\cdot \sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

naja das mit der wurzel ist aber immernoch erraten, die könnte ich auch über den ganzen bruch packen.

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 14:12

klarsoweit

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Das sieht doch gut aus. Jetzt kannst du im Zähler die Klammern auflösen und Terme zusammenfassen.

27.11.2007, 14:21

gabbo

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für b)

$\begin{eqnarray*} \frac{n²+1}{3n²+7}- \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n²+1)3}{(3n²+7)3}-\frac{1(3n²+7)}{3(3n²+7)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n²+1)3-1(3n²+7)}{(3n²+7)3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3n²+3-3n²+(-7)}{9n²+21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-4}{9n²+21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9n²+21>\frac{-4}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9n>\frac{-4}{\sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n>\frac{-4}{9\cdot \sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

naja das mit der wurzel ist aber immernoch erraten, die könnte ich auch über den ganzen bruch packen.

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 14:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} \frac{-4}{9n²+21} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle hast du unterschlagen, daß ursprünglich mal Betragsstriche um den Bruch drumherum waren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2007, 14:29

gabbo

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yo, an was man alles denken muss und nieeeemals im leben gebrauchen wird!!!

$\begin{eqnarray*} |\frac{n²+1}{3n²+7}- \frac{1}{3}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{(n²+1)3}{(3n²+7)3}-\frac{1(3n²+7)}{3(3n²+7)}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{(n²+1)3-1(3n²+7)}{(3n²+7)3}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{3n²+3-3n²+(-7)}{9n²+21}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{-4}{9n²+21}| \end{eqnarray*}$

habe keine besseren betragsstriche gefunden!!

$\begin{eqnarray*} 9n²+21>\frac{4}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9n>\frac{4}{\sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n>\frac{4}{9\cdot \sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich das nur noch so schreiben, daß ich die aufgabe auch einsenden kann!!
ich soll doch jetzt wohl nicht auchnoch so etwas wie einen beweis erstellen, das wird doch wohl genügen wenn ich da oben die formel für epsilon gefunden habe.

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 14:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} 9n²+21>\frac{4}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9n>\frac{4}{\sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

Da hast du mit den Umformungen geschludert. Aus was wird da auf der rechten Seite die Wurzel gezogen?

27.11.2007, 14:48

gabbo

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$\begin{eqnarray*} n>\frac{4}{ \sqrt{9\cdot \epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 14:54

klarsoweit

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unglücklich

Du schluderst immer noch. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} 9n^2+21>\frac{4}{\epsilon} \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} 3n>\sqrt{\frac{4}{\epsilon}-21} \end{eqnarray*}$

Das setzt natürlich voraus, daß epsilon < 4/21 gewählt wird. Bei größeren epsilons muß man dann eben N_0 = 1 nehmen.

27.11.2007, 15:01

gabbo

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jetzt aber,

a) $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid a_n-0 \mid <\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{\sqrt{n+1}}-0 \mid <\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{\sqrt{n+1}} \mid <\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n+1>\frac{1}{\epsilon²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\epsilon²}-1 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------

b) $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n²+1}{3n²+7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{n²+1}{3n²+7}- \frac{1}{3}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{(n²+1)3}{(3n²+7)3}-\frac{1(3n²+7)}{3(3n²+7)}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{(n²+1)3-1(3n²+7)}{(3n²+7)3}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{3n²+3-3n²+(-7)}{9n²+21}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{-4}{9n²+21}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9n²+21>\frac{4}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9n>\frac{4}{\sqrt{\epsilon}}-21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3n> \sqrt{\frac{4}{\epsilon}-21} \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------------
und warum ist dann bei a) nicht
$\begin{eqnarray*} n>(\frac{1}{\epsilon}-1)² \end{eqnarray*}$ ???

verwirrt

verwirrt

27.11.2007, 15:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
und warum ist dann bei a) nicht
$\begin{eqnarray*} n>(\frac{1}{\epsilon}-1)² \end{eqnarray*}$ ???

Weil in dem Moment, wo quadriert wird, auf der rechten Seite nur das 1/epsilon steht.

Mach doch bitte die Umformungen immer Stück für Stück. Zuviel auf einmal gibt nur Huddel.

27.11.2007, 15:25

gabbo

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ok, danke!!!!

Freude

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Freude

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