Ungleichung

26.11.2007, 13:35	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Hi Sei $\begin{eqnarray} A=(a_{ij}) \end{eqnarray}$ eine n x n Matrix. Wir sollen nun zeigen, dass mit der Voraussetzung : $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n~\|a_{ij}\|=1 \end{eqnarray}$ fuer alle i=1,...,n für jede Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D=diag(d_1,...,d_n) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} cond_{\infty}(A)\leq cond_{\infty}(DA) \end{eqnarray}$ Ich habe nun mir zuerst $\begin{eqnarray} cond_{\infty}(A) \end{eqnarray}$ angeschaut. Das ist ja $\begin{eqnarray} cond_{\infty}(A)=\|\|A\|\|_{\infty} \cdot\|\|A^{-1}\|\|_{\infty}=\|\|A^{-1}\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_{\infty} =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cond_{\infty}(DA)=\|\|DA\|\|_{\infty} \cdot\|\|DA^{-1}\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ Nun weiss ich nicht wie ich genau weiter vorgehen soll..... Man kann natuerlich die Diagonalmatrix betrachten. Sind alle Eintraege der Matrix $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray} \|\|DA\|\|_{\infty}\geq \|\|A\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ Ist das nicht der Fall ,dann hab ich ein kleine Problem. Gruß
26.11.2007, 17:03	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
habs rausbekommen ..
27.11.2007, 01:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann poste doch auch die Lösung. Danke
27.11.2007, 15:37	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi $\begin{eqnarray} \|\|DA\|\|_{\infty}=\max \|d_i\| \end{eqnarray}$ . Dies gilt, da D eine Diagonalmatrix ist und somit jede Zeile von DA die Zeilensumme $\begin{eqnarray} d_i \end{eqnarray}$ hat. Nun hab ich noch $\begin{eqnarray} \|\|(DA)^{-1}\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ nach unten abgeschätzt und schon war ich fertig .. Gruß

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