Verteilungsfunktionen

26.11.2007, 14:35	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktionen Hallo, ich habe eine kleine Frage zum Thema Verteilungsfunktion. Bis jetzt kenne ich Verteilungsfunktionen von der Form: $\begin{eqnarray} F_{X}(r)=\begin{cases}0 & ,...\\... & ,...\\1 & ...\end{cases} \end{eqnarray}$ Ich soll nun zu $\begin{eqnarray} Z=3X+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y=lnX \end{eqnarray}$ eine Verteilungsfunktion angeben. Könnt ihr mir ein Tipp zu vorgehen geben? Als erstes schaun, wo die Funktionen 0 bzw. 1 sind? Viele Grüße -- MrMilk
26.11.2007, 15:36	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du starkmonoton steigende Funktionen g von den Zufallsvariablen hast dann geht auch folgendes : $\begin{eqnarray} Z = g(X) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow X = g^{-1}(Z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(Z < a) = P(g(X) < a) = P(X < g^{-1}(a)) \end{eqnarray}$ Das heisst ich habe die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Z auf die (bekannte) Wahrscheinlichkeitsfunktion von X zurückgeführt, und damit erhalten wir die Dichte von Z. Sowohl 3x + 1 als auch ln(x) sind streng monoton steigend . Dieser Weg funktioniert nicht so einfach wenn die Funktion nicht streng steigt.
26.11.2007, 15:41	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mazze, vielen Dank für deine Hilfe. Kann ich dieses auch mit einem $\begin{eqnarray} F_x(r)=... \end{eqnarray}$ angeben? Viele Grüße -- MrMilk
26.11.2007, 15:51	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte funktionieren, nur heisst es dann $\begin{eqnarray} F_{X}(r)=\begin{cases}0 & ,g^{-1}(r)...\\... & ,...\\1 & g^{-1}(r)...\end{cases} \end{eqnarray}$ Aber schreib das mal genau auf habe gerade nicht soviel Zeit es zu probieren.
26.11.2007, 20:16	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mazze, mein Problem ist hier, wie hier die Funktionsdichte angeben kann... Kannst du mir da noch einmal weiterhelfen? Viele Grüße -- MrMilk
26.11.2007, 21:08	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel : Sei X eine Zufallsvariable mit der Dichte $\begin{eqnarray} p_{X}(r)=\begin{cases}\frac{1}{2} & r \in [0,2] ,\\0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ Betrachte die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} Z = aX + b \end{eqnarray}$ für a > 0 und b > 0, dann gilt für die Verteilungsfunktion von Z $\begin{eqnarray} P_Z(r) = P(Z < r) = P(aX + b < r) = P(X < \frac{r - b}{a}) = \int_{-\infty}^{\frac{r - b}{a}}p_X(t)dt \end{eqnarray}$ Daraus kann man ableiten das $\begin{eqnarray} p_Z(r) = 0 \text{ für } r < b \text{ und } r > 2a + b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_Z(r) = \frac{1}{2a} \text{ für } r \in [b,2a + b] \end{eqnarray}$ Und nun noch die Probe : $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}p_Z(t)dt = \int_{b}^{2a + b}\frac{1}{2a}dt = \frac{a}{a} + \frac{1}{2a}b - \frac{1}{2a}b = 1 \end{eqnarray}$ Es gibt bestimmt noch einen besseren Weg als das hier, aber meine Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie sind nicht all zu umfassend.
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