Hilfe bei Konvergenzaufgabe ?

20.04.2005, 16:34

gazzle

Hilfe bei Konvergenzaufgabe ?

Hallo,

ich sitze hier grad vor drei schönen Konvergenzaufgaben und komme nicht richtig weiter. (habe mir Vorwissen, was Reihen und Folgen angeht schon angeschaut)

Aufgabenstellung:

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz, und kreuzen Sie die Konvergenten Reihen an:

$\begin{eqnarray*} \circ \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{5^n} {(n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \circ \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1} {(1+\frac{1}{n})^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \circ \sum_{n=0}^{\infty}~(n*sin(\frac{1}{2n}))^n \end{eqnarray*}$

Bei der ersten habe ich mal soweit umgestellt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{5^n} {n!*(n+1)} \end{eqnarray*}$

und bei der zweiten :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1} {e} \end{eqnarray*}$

aber ich komme nun leider nicht weiter unglücklich

wäre toll wenn hier einre von euch ein paar Denkanstöße hat Big Laugh

danke schonmal !!!

20.04.2005, 16:47

martins1

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Verwende bei der ersten Reihe das Quotientenkriterium.
Bedenke bei der zweiten Reihe, dass man aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_n \end{eqnarray*}$ schließen kann, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein muss.
Nimm für die dritte Reihe das Wurzelkriterium. Erinnere dich außerdem an den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim _{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ .

Außerdem ist deine Umformung der zweiten Reihe nicht richtig.
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \neq e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = e \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~{\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}}=\frac{1}{2}+\frac{4}{9}+... \end{eqnarray*}$

20.04.2005, 17:14

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Bei c) hilft das Majorantenkriterium unter Benutzung von

$\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\leq |x| \end{eqnarray*}$ ,

gültig für alle reellen Zahlen x.

20.04.2005, 19:03

gazzle

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Also wenn ich das mit dem Quotientenkreterium richtig verstehe,

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_n+1}{a_n} \mid \end{eqnarray*}$

muss ich meine erste Reihe so hinschreiben

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{5^n} {(n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{5^{n+1}} {(n+2)!} \end{eqnarray*}$

das setze ich dann ein...

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{\frac{5^{n+1}} {(n+2)!}}{ \frac{5^n} {(n+1)!}} \mid \end{eqnarray*}$

forme dann mal um...

$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n+1}}{(n+2)!} : \frac{(n+1)!}{5^n} = \frac{5^n*(n+1)!}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

ist das soweit erstmal richtig ? wenn ja wie gehe ich dann vor, weil ich kann ja immer noch nicht sagen, anhand der Terme ob die Reihe konvergiert...

20.04.2005, 19:08

Sciencefreak

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Was soll das jetzte?

Zitat:

Original von gazzle
$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n+1}}{(n+2)!} : \frac{(n+1)!}{5^n} = \frac{5^n*(n+1)!}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

Also eigentlich willst du doch
$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n+1}}{(n+2)!} * \frac{(n+1)!}{5^n} \end{eqnarray*}$
rechnen und nicht /

20.04.2005, 19:09

JochenX

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RE: Hilfe bei Konvergenzaufgabe ?

Zitat:

Original von gazzle
$\begin{eqnarray*} \circ \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1} {(1+\frac{1}{n})^n} \end{eqnarray*}$
[....]
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1} {e} \end{eqnarray*}$

als nachtrag dazu: die folge unter der reihe konvergiert gegen 1/e (damit hast du divergenz!), aber dennoch ist diese "umformung" falsch....
es ist keine umformung.....

20.04.2005, 19:26

gazzle

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Zitat:

Original von Sciencefreak
Was soll das jetzte?

Also eigentlich willst du doch
$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n+1}}{(n+2)!} * \frac{(n+1)!}{5^n} \end{eqnarray*}$
rechnen und nicht /

Ja sorry das : sollte heißen, dass ich oben und unten multipliziere und dann war ich gedanklich doch falsch

$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n+1}}{(n+2)!} * \frac{(n+1)!}{5^n} = \frac{5^{n+1}(n+1)!}{5^n(n+2)!} \end{eqnarray*}$

da kann ich doch jetzt erstmal kürzen oder etwa nicht ?

20.04.2005, 19:30

Sciencefreak

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Ja da kannst du eine gane Menge kürzen. Und am Ende sollte nur noch ein n drin stehen

20.04.2005, 20:33

gazzle

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so dann habe ich mal gerechnet Big Laugh

mußte erstmal schauen wie das mit der Fakultät war

$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n+1}(n+1)!}{5^n(n+2)!} =\frac{5^{n+1}*n!*(n+1)}{5^n*n!*(n+1)*(n+2)} \end{eqnarray*}$

dann Potenz gesetze

$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5^{n+1-n} = 5^1 \end{eqnarray*}$

dass (n+1) und n! kürzt sich weg und dann steht

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{(n+2)} \end{eqnarray*}$

das läuft gegen 0 also ist diese Reihe konvergent ?

kann ich dann auch bei der 2ten mit der quotientenregel arbeiten ?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

20.04.2005, 21:06

Sciencefreak

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RE: Hilfe bei Konvergenzaufgabe ?
du weißt doch das
$\begin{eqnarray*} {(1+\frac{1}{n})^n} \end{eqnarray*}$
nach e konvergiert wenn n gegen unendlich geht. Was willst du da mit der Quptientenregel

20.04.2005, 21:26

gazzle

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mhhh aber wie würde man das schreiben, 1/e geht ja nicht oder doch ? ich kapier das bei der Reihe nicht ?!? Hilfe

20.04.2005, 21:28

Sciencefreak

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Also der Wert nähert sich von unten an, somit ist 1/den Wert immer größer als 1/e. Somit ist Summe größer als unendlich mal 1/e

20.04.2005, 21:32

Mathespezialschüler

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Was ist denn bitte unendlich mal 1/e??? Und seit wann heißt das "nach 1/e konvergieren"??
@gazzle
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray*}$ ist keine Nullfolge. Also kann die Reihe nicht konvergieren!

20.04.2005, 21:37

gazzle

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Also geht das ganze gegen unendlich ? und ist deshalb divergent ? Hammer

Bei der dritten nehme ich also das Majorantenkriterium unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\leq |x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n*sin(\frac{1}{2n}))^n \end{eqnarray*}$

dann läuft sin gegen 0 weil 1/2n gegen 0 geht? Damit ist n*sin... ebenfalls 0 und 0 hoch irgendetwas ist ja auch null und deshalb konvergent ?

20.04.2005, 22:10

Mathespezialschüler

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Ja, das geht gegen unendlich!

Hhhm, vll solltest du dir nochmal die Grundlagen von Reihen und deren Konvergenz angucken!!! Du wolltest jetzt wohl nachweisen, dass die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=\left(n\sin\frac{1}{2n}\right)^n \end{eqnarray*}$

gegen 0 geht. 1. ist deine Erklärung dazu absolut nicht korrekt (!!!!!) und 2. ist das doch gar nicht das, was du nachweisen musst! Du musst nachweisen, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\left(n\sin\frac{1}{2n}\right)^n \end{eqnarray*}$

konvergiert, da reicht es nicht, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left(n\sin\frac{1}{2n}\right)^n\ \to\ 0 \end{eqnarray*}$ geht, zumal dein "Beweis" ja nich korrekt ist.
Und wie schon richtig gesagt, sollst du das Majorantenkriterium mit der angesprochenen Ungleichung benutzen, ich sehe nicht, wo du das gemacht hast, obwohl du es doch selbst angesprochen hast.

20.04.2005, 22:12

gazzle

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Ja es ist auch schon zu spät und morgen schaue ich nochmal in die Grundlagen. Habt erstmal dank für eure Hilfe !

Also ich habe mich heute mal an die 2te und 3te Aufgabe gemacht und geschaut ob diese Konvergent sind.

bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1} {(1+\frac{1}{n})^n} \end{eqnarray*}$
bin ich folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1} {(1+\frac{1}{n})^n} \end{eqnarray*}$

das untere läuft gegen e und somit ist es nicht 0 und damit auch keine Konvergenz.

Bei der letzten:
$\begin{eqnarray*} sum_{n=0}^{\infty}~(n*sin(\frac{1}{2n}))^n \end{eqnarray*}$

Also erstmal probiert, ob es konvergent seien kann...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (n*sin(\frac{1}{2n}))^n \end{eqnarray*}$
das 1/2n läuft unten gegen unendlich also insgesamt gegen 0

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{2n}) = sin(0) \end{eqnarray*}$
so und sin(0) ist 0.

Damit ist alles 0 und es könnte also ein Konvergenz vorliegen.

Also schau ich mal ob ichs mit dem Qurzelkriterium rausbekomme:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(n*sin(\frac{1}{2n}))^n}:=q \end{eqnarray*}$

dann fällt ja das ^n wech

$\begin{eqnarray*} n*sin(\frac{1}{2n}):=q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n*sin(\frac{1}{2n}) \end{eqnarray*}$
so 1/2n läuft wieder gegen null damit ist der sin(0)= 0 und n*0 = 0
damit ist
q:=0 und das ist <1 und damit konvergent. (also Laut Tafelwerk)

Die beiden wären dann auch laut Lösung bei mir richtig. Ist nur die Frage ob meine Herangehensweise jetzt so korrekt war ?

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