Intergralrechnung - Verständnisproblem bei der Umformung

26.11.2007, 16:12

Murmeltier

Intergralrechnung - Verständnisproblem bei der Umformung

Hallo,

wir behandeln im Grundkurs (Jahrgang 12) gerade die Integralrechnung. Dazu haben wir erst einmal ganz einfach mit Obersumme und Untersumme angefangen. Das Prinzip verstehe ich soweit, jedoch verstehe ich eine Umformung nicht.

Hier erstmal was an der Tafel stand:

Für f(x)=1/2x² a=0, b=3, n Rechtecke

$\begin{eqnarray*} Os=\frac{1}{2} \times \frac{3}{n} \times ( (\frac{1\times 3}{n} )^{2} + (\frac{2\times 3}{n} )^{2} + (\frac{3\times 3}{n} )^{2} + (\frac{4\times 3}{n} )^{2} + ... (\frac{3n}{n} )^{2} \end{eqnarray*}$

Das ganze wurde dann ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} Os=\frac{1}{2} \times \frac{3}{n} \times (\frac{3}{n} )^{2} \times (1 + 2^{2} + 3^{2} + ... n^{2} ) \end{eqnarray*}$

Um zu überprüfen, ob die 2. Zeile korrekt ist, wollte ich den Term, der ausgeklammert wurde, einfach wieder ausmultplizieren. Wenn ich das tue, müsste aus

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{n} )^{2} \times (1 + 2^{2} + 3^{2} + ... n^{2} ) \end{eqnarray*}$

das werden:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1\times 3}{n} )^{2} + (\frac{2\times 3}{n} )^{2} + (\frac{3\times 3}{n} )^{2} + (\frac{4\times 3}{n} )^{2} + ... (\frac{3n}{n} )^{2} \end{eqnarray*}$

Also rechne ich $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{n} )^{2} \times 1 \end{eqnarray*}$ und das ergibt $\begin{eqnarray*} (\frac{1\times 3}{n} )^{2} \end{eqnarray*}$ . Stimmt also.

Jetzt gehts weiter:

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{n} )^{2} \times 2^{2} = (\frac{3}{n} )^{2} \times 4 \end{eqnarray*}$ und das ergibt $\begin{eqnarray*} (\frac{12}{n} )^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{12}{n} )^{2} \end{eqnarray*}$ ist aber nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} (\frac{2\times 3}{n} )^{2} = (\frac{6}{n} )^{2} \end{eqnarray*}$ aus der 1. Zeile.

Was mache ich falsch? So langsam zweifle ich an meinen "Rechenkünsten", wenn ich so eine einfache Bruchrechnung nicht lösen kann.

Mein Lehrer konnte mir leider nicht weiter helfen. Entweder hat er nicht verstanden, was ich wollte, oder ich war zu blöd, es zu verstehen.

Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir das jemand erklären kann und hoffe, dass ich das Ganze möglichst übersichtlich dargestellt habe.

26.11.2007, 16:46

Philipp Imhof

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RE: Intergralrechnung - Verständnisproblem bei der Umformung

Zitat:

Also rechne ich $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{n} )^{2} \times 1 \end{eqnarray*}$ und das ergibt $\begin{eqnarray*} (\frac{1\times 3}{n} )^{2} \end{eqnarray*}$ . Stimmt also.

Das stimmt, aber nur weil die 1 eine 1 ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{n} )^{2} \times 2^{2} = (\frac{3}{n} )^{2} \times 4 \end{eqnarray*}$ und das ergibt $\begin{eqnarray*} (\frac{12}{n} )^{2} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac3n\right)^2\cdot2^2 = \frac{9}{n^2}\cdot4 = \frac{36}{n^2} \end{eqnarray*}$

26.11.2007, 17:21

Murmeltier

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Ah! Des Rätsels Lösung.
smile

Wenn ich nun die Wurzel daraus ziehe, komme ich wieder zum Term (6/n)². Ich darf das also nicht einfach so multiplizieren sondern muss erst die Klammern wegbekommen, bevor ich ihn multiplizieren kann. Richtig?

27.11.2007, 07:58

Philipp Imhof

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Du kannst schon den Faktor "in die Potenz" hinein multiplizieren. Aber du musst es richtig machen:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac3n\right)^2 \cdot 4 = \left(\frac{3\cdot2}{n}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Hier ziehst du die Wurzel aus der 4, um das Quadrat auszugleichen.

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