Vektorfamilie

26.11.2007, 16:59

hxh

Vektorfamilie

K sei ein Körper und V ein K-Vektorraum.
Es seine $\begin{eqnarray*} v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Vektoren. Prüfen sie , welche der folgenden Vektorfamilien linear unabhängig über K sind, jeweils in den Fällen $\begin{eqnarray*} K = \mathbb Q , K = \mathbb F_{2}, K = \mathbb F_{3} \end{eqnarray*}$

(a) v1 + v2 , v1 - v2
(b) v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v4 +v1
(c) v2+v3+v4, v1+v3+v4,v1+v2+v4, v1+v2+3

ich versteh nicht so ganz wie ich das bei Vektorfamilien zeigen soll, is wahrscheinlich nur irgendwie nachrechnen, aber weiß halt nicht wie genau

26.11.2007, 18:00

Leopold

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Stelle Linearkombinationen der betreffenden Vektoren auf, die den Nullvektor darstellen. Bringe diese Linearkombinationen durch Umordnen auf die Gestalt

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 + \lambda_4 v_4 = 0 \ \ \text{mit} \ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in K \end{eqnarray*}$

Da die $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3,v_4 \end{eqnarray*}$ als linear unabhängig vorausgesetzt sind, bekommst du ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \, , \ \ \lambda_2 = 0 \, , \ \ \lambda_3 = 0 \, , \ \ \lambda_4 = 0 \end{eqnarray*}$

Löse dieses und urteile.

Zum Beispiel a):

$\begin{eqnarray*} \alpha \left( v_1 + v_2 \right) + \beta \left( v_1 - v_2 \right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ ( \alpha + \beta) \, v_1 + ( \alpha - \beta ) \, v_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Es muß also das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \alpha + \beta = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha - \beta = 0 \end{eqnarray*}$

erfüllt sein. Wie sieht das nun in den Fällen $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{Q}, \, K = \mathbb{F}_2, \, K = \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ aus?

26.11.2007, 18:13

hxh

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$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 + \lambda_4 v_4 = 0 \ \ \text{mit} \ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \, , \ \ \lambda_2 = 0 \, , \ \ \lambda_3 = 0 \, , \ \ \lambda_4 = 0 \end{eqnarray*}$

muss man dazu überhaupt noch viel rechnen? das ist ja irgendwo klar, das es so sein muss.

Kannst du mir vielleicht in eigenen Worten erklären was man unter einer Vektorfamilie versteht ?

26.11.2007, 18:23

Leopold

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Du solltest dir meinen Beitrag noch einmal in Ruhe durchlesen. Was du nämlich zuletzt schreibst, zeigt, daß du nicht begriffen hast, worum es geht.

Eine Vektorfamilie ist einfach eine Folge von Vektoren. Bei a) besteht die Vektorfamilie aus zwei Mitgliedern, nämlich $\begin{eqnarray*} v_1 + v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1 - v_2 \end{eqnarray*}$ , bei b) und c) sind es jeweils vier Mitglieder. Und "Familie" sagt man deshalb, weil Gleichheit der Familienmitglieder ausdrücklich nicht ausgeschlossen ist.

26.11.2007, 18:52

hxh

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mh ok

zu a) wäre dann v1 +v2 ein vektor und v1-v2 auch ein vektor darum machst du diese kombination. Klar ist mir dass die Kombination den Nullvektor ergeben muss damit l.u. vorliegt.

darum schreibst du ja alpha und beta davor, das wären einfach irgendwelche skalare.

also $\begin{eqnarray*} \alpha ( v1 + v2) + \beta (v1 -v2) = 0 \end{eqnarray*}$

meintest du damit die linear Kombination, die man hier braucht.

bei b) und c) soll das dann analog ablaufen ? falls dem so ist dann hab ich verstanden

26.11.2007, 19:20

Leopold

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Zitat:

Original von hxh
Klar ist mir dass die Kombination den Nullvektor ergeben muss damit l.u. vorliegt.

Schweres Mißverständnis!
Schau dir erst einmal genau die Definition der linearen Unabhängigkeit an. Da kommt es auf jedes Wort an. Auch so kleine Wörter wie "nur" sind entscheidend.

Karl fährt mit dem Fahrrad zur Universität.
Nur Karl fährt mit dem Fahrrad zur Universität.
Karl fährt nur mit dem Fahrrad zur Universität.
Karl fährt mit dem Fahrrad nur zur Universität.

Beachte den Unterschied der Aussagen.

26.11.2007, 19:33

hxh

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oh ja das ist nur der triviale Falls falls die skalare 0 sind oder ? ich häng irgendwie grade vllt sollte ich ne pause machen

26.11.2007, 19:39

Leopold

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Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor NUR trivial durch sie linear kombinieren läßt.

Wenn also

$\begin{eqnarray*} \alpha \left( v_1 + v_2 \right) + \beta \left( v_1 - v_2 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

nur mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = 0 \end{eqnarray*}$ geht, dann sind $\begin{eqnarray*} v_1 + v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1 - v_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Das hängt durchaus vom Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ab. Die Antwort ist nämlich eine andere für $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ .

26.11.2007, 19:45

hxh

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ok jetzt versteh ichs bis hierher
dh nun also alpha und beta müssen für den Körper Q etwas anderes sein als 0

27.11.2007, 18:10

hxh

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muss ich mir nicht eigentlich, das hier betrachten nachdem ich etwas darüber nachgedacht habe

$\begin{eqnarray*} v_{1} ( \alpha + \beta) + v_{2} ( \alpha - \beta) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha + \beta = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha - \beta = 0 \end{eqnarray*}$

Folgerung alpha und beta sind 0

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ wäre linear abhängig, die anderen beiden l.u.

27.11.2007, 18:30

Leopold

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Zitat:

Original von hxh
Folgerung alpha und beta sind 0

Eben nicht. Diese Folgerung kannst du zwar im Falle $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ ziehen, keineswegs aber im Fall $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ . Sonst würde ja auch deine Aussage zum Fall des Körpers $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ gar nicht passen. Deine Aussagen sind also widersprüchlich.

27.11.2007, 18:34

hxh

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sind etwa alle 3 hier linear unabhängig ?

Edit: ok F2 muss schon l.a sein aber ich muss das anders zeigen verwirrt

dort ist ja 0+0=0 ; 1+1=0 ; 1+0=1 ;0+1=1

hat das was mit $\begin{eqnarray*} \alpha - \beta \end{eqnarray*}$ zu tun dass das niht funktioniert

27.11.2007, 18:51

Leopold

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Man kann es auch so sagen: In $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ gibt es keinen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ . Das 2×2-System in $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ schrumpft also auf eine einzige Gleichung zusammen, z.B.

$\begin{eqnarray*} \alpha - \beta = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \alpha = \beta \end{eqnarray*}$

Damit gibt es eine nichttriviale Lösung: $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = 1 \end{eqnarray*}$ . Und in der Tat gilt über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \left( v_1 + v_2 \right) + 1 \cdot \left( v_1 - v_2 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit läßt sich der Nullvektor nichttrivial aus $\begin{eqnarray*} v_1 + v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1 - v_2 \end{eqnarray*}$ (was ja in Wahrheit dasselbe ist) linear kombinieren. Diese beiden Vektoren sind also linear abhängig. (Das kann man natürlich auch ohne das LGS direkt sehen. Denn wenn in einer Familie von Vektoren gleiche vorkommen, dann ist diese Familie immer linear abhängig.)

27.11.2007, 19:23

hxh

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ok das hab ich verstanden.
Ich werde mal die anderen noch aufschreiben also b) und c)

bei b) hab ich Q l.a.
und bei c) F3 l.a.

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