Isomorphietypen

26.11.2007, 18:22	Julia	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphietypen Ich verstehe folgende Aufgabe nicht so recht: Ich soll alle "Isomorphietypen" einer abelschen Gruppe der Ordnung 225 bestimmen. Was sind denn "Isomorphietypen" genau? Soll ich eine Gruppe finden, zu der die Gruppe aus der Aufgabe isomorph ist?
26.11.2007, 18:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende den Hauptsatz für abelsche Gruppen. Danach ist eine jede solche isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer Gruppen. Sei $\begin{eqnarray} \mathfrak{Z}_n \end{eqnarray}$ die zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} 225 = 3^2 \cdot 5^2 \end{eqnarray}$ wäre eine Möglichkeit $\begin{eqnarray} \mathfrak{Z}_3 \times \mathfrak{Z}_3 \times \mathfrak{Z}_{25} \end{eqnarray}$ . Welche Möglichkeiten gibt es noch?
26.11.2007, 19:00	Julia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, dann gibt es noch (mit Cn zyklische Gruppe der Ordnung n): C3 x C3 x C5 x C5 C9 x C5 x C5 C9 x C25
26.11.2007, 19:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »

26.11.2007, 19:26	Julia	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich nochmal fragen dürfte: Worauf bezieht sich jetzt genau das Isomorphietyp? Also der Typ ist dann sozusagen die Form der isomorphen Gruppe wenn man so will? Sagt man dann, dass eine andere Gruppe, welche etwa auch zu C9 x C25 isomorph ist, vom selben Isomorphietyp ist?
26.11.2007, 19:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie ist sozusagen eine Äquivalenzrelation. Alle zueinander isomorphen Gruppen sind vom selben Isomorphietyp. Es ist genau so, wie du sagst.
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