Abstand vom Punkt zur Geraden

26.11.2007, 18:36

Lizzy

Abstand vom Punkt zur Geraden

Hallo Leute,
ich habe Probleme mit einer Übungsaufgabe, da ich solche Formen von Aufgaben schon lange nicht mehr gemacht habe und somit mir die Vorgehensweise und die Formeln nicht mehr gängig sind.
Die Aufgabe lautet:
Welchen Abstand hat der Punkt P(3;4) von der Geraden g mit y= $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ X - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
??
Kann mir da jemand helfen??
Danke schonmal smile

Liebe Grüße Lizzy

26.11.2007, 18:58

Venus²

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Hast du dir schon irgendwas dazu überlegt?

- Normale (Senkrechte Funktion) zu g durch $\begin{eqnarray*} P(x_1|y_1) \end{eqnarray*}$ bilden
- Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(x_2|y_2) \end{eqnarray*}$ der Normalen mit g bestimmen
- Satz des Pythagoras mithilfe des Steigungsdreiecks der Normalen und der beiden Punkte

Was ist dann der Abstand?

26.11.2007, 19:03

Lizzy

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keine ahnung... unglücklich

ich hab mir schon was zu überlegt was so aussieht wie dein 3. punkt, also: Satz des Pythagoras mithilfe des Steigungsdreiecks der Normalen und der beiden Punkte
allerdings hab ich keine ahnung mehr von formeln und wie ich weiterhin vorgehen soll

26.11.2007, 19:13

Venus²

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Dann mach doch mal das, was ich dir aufgeschrieben hab Augenzwinkern

Du kannst die Normale ganz einfach bestimmen, weil es eine Gerade ist und du einen Punkt kennst, der darauf liegt, nämlich P und du die Steigung kennst, weil die Normale senkrecht auf g steht, dann gilt nämlich: $\begin{eqnarray*} m_N=-\frac{1}{m_g} \end{eqnarray*}$

Setze das, was dir bekannt ist, in die Geradengleichung y=mx+n ein und bestimme das, was dir fehlt. Dann hast du die Gleichung der Normalen.

26.11.2007, 19:22

Lizzy

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ok super danke, ich probier es dann mal aus smile

dankeschön smile

26.11.2007, 20:11

Lizzy

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ich bin jetzt mit dem 2. Punkt fertig geworden,weiß allerdings nicht wie ich jetzt den 3. punkt machen soll
aber erstmal: ist es bis jetzt überhuapt richtig?
1.Punkt->Normale: -1 $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ x + 8

2.Punkt-> Schnittpunkt von g und Normale: S (3 $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ / 3 $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ )

Liebe Grüße

26.11.2007, 20:41

Lizzy

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ich brauche hilfe traurig

ich komm nämlich einfach nicht weiter unglücklich

26.11.2007, 21:17

Venus²

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Zitat:

Original von Lizzy
ich bin jetzt mit dem 2. Punkt fertig geworden,weiß allerdings nicht wie ich jetzt den 3. punkt machen soll
aber erstmal: ist es bis jetzt überhuapt richtig?
1.Punkt->Normale: -1 $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ x + 8

Nein, das ist leider falsch. Wie groß ist denn die Steigung der Normalen $\begin{eqnarray*} m_N \end{eqnarray*}$ ?

lg

27.11.2007, 15:05

Lizzy

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oh ja ich hab den bruch ausversehen umgedreht ^^
also ich habe da das raus:
Gleichung der ausgereneten Normalen: $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{4} x \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} 6 \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

danach hab ich dann durchs gleichsetzen die schnittpunkte errechnet:
S= ( $\begin{eqnarray*} 3 \frac{4}{25} ; 3 \frac{22}{25} \end{eqnarray*}$ )

dann hab ich die länge der Strecke berechnet und bin zum ergebnis gekommen : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

d.h.: der abstand beträgt 0,2!!! Ist das richtig??

27.11.2007, 15:14

riwe

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27.11.2007, 15:14

mYthos

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Habt ihr im Unterricht schon mal etwas von der HNF (Hesse'schen Normalform) gehört?
Damit wäre der Abstand schneller und leichter zu bestimmen.

Der hier gerechnete geometrische Weg ist selbstverständlich ebenso gangbar.

Übrigens: Dein Resultat ist richtig! smile

mY+

27.11.2007, 15:46

Lizzy

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cooli

Zitat:

Habt ihr im Unterricht schon mal etwas von der HNF (Hesse'schen Normalform) gehört?

ne haben wir noch nicht gemacht.
aber wir sollen das ja denke ich einmal in der klausur so machen wie wir das gelernt haben.
Aber sonst kannste ja mal schreiben wie die aussieht bzw angewendet wird Augenzwinkern

27.11.2007, 17:15

mYthos

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Geradengleichung auf Null gebracht und durch den Betrag des Normalvektors dividiert -> HNF

$\begin{eqnarray*} \frac{4x - 3y - 1}{\sqrt{4^2+ 3^2}} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4x - 3y - 1}{5} = 0 \end{eqnarray*}$

Punkt P (3;4) darin einsetzen, Betrag nehmen -> Abstand d

$\begin{eqnarray*} d = \ \mid \frac{12 - 12 - 1}{5} \mid \ = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

That's it! Schon fein, nicht?

mY+

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