Cauchy-Produkt von Reihen

26.11.2007, 21:18	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Produkt von Reihen Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} 2C(x)^2=C(2x)+1 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} C(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \end{eqnarray}$ Im Vorfeld musste man schon die absolute Konvergenz zeigen und $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n {2n \choose 2k}=2^{2n-1} \end{eqnarray}$ Das ganze soll man mit dem Cauchy-Produkt von Reihen zeigen. $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} c_n = (\sum_{n=0}^{\infty}a_n)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_n=\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k \end{eqnarray}$ Also dann ist $\begin{eqnarray} 2\cdot C(x)^2=2\cdot C(x)\cdot C(x)=2(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n})\cdot(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n})= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}\cdot x^{2(n-k)}}{(2(n-k))!}\cdot\frac{(-1)^{k}\cdot x^{2k}}{(2k)!}) \end{eqnarray}$ Stimmt das bis hierher?
26.11.2007, 21:21	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Produkt von Reihen Ja.
26.11.2007, 21:33	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bin ich zu blöd zum rechnen... sehr beruhigend $\begin{eqnarray} 2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}\cdot x^{2(n-k)}}{(2(n-k))!}\cdot\frac{(-1)^{k}\cdot x^{2k}}{(2k)!}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{(2n)!}\sum_{k=0}^n(-1)^n\cdot x^{2n}{2n\choose 2k}=2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{(-1)^n\cdot x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^n{2n\choose 2k}=2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot x^{2n}}{(2n)!}2^{2n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot (2x)^{2n}=C(2x)\neq C(2x)+1 \end{eqnarray}$
26.11.2007, 21:37	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann deinen ersten Schritt schon nicht nachvollziehen. Warum gilt $\begin{eqnarray} (2(n-k))!=(2n)! \end{eqnarray}$ und wo kommt der Binomialkoeffizient her?
26.11.2007, 21:42	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{(2n-2k)!}\cdot\frac{1}{(2k)!}\cdot \frac{(2n)!}{(2n)!}=\frac{1}{(2n)!}\cdot {2n \choose 2k} \end{eqnarray}$
26.11.2007, 21:47	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ... ... sehr geschickt. Nun ... ich finde auch keinen Fehler - der Rest ist plausibel. Ich schau nochmal drüber ....
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26.11.2007, 21:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@sqrt4 Bist du nicht auf die Idee gekommen zu hinterfragen, warum gerade der Konstantanteil nicht stimmt? Dann richte dein Augenmerk mal auf $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} = 2^{2n-1} \end{eqnarray}$ . Das stimmt nämlich nur für $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ , aber nicht für $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ ...
26.11.2007, 23:01	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das hätte ich schon merken können... danke Arthur

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