Achilles und die Schildkröte |
| 26.11.2007, 21:51 | daniel2007 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Achilles und die Schildkröte könnt ihr mir sagen was an dem Zenon PAradoxon eine Reihe ist, und warum es keine Summe ist ?? Gruß |
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| 26.11.2007, 22:20 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
eine Reihe ist eine Summe. Allerdings ist in diesem Fall der Weg, den Achilles zurücklegt eine konvergente geometrische Reihe, welche gerade gegen den Punkt konvergiert, wo Achilles (laut Newton's Mechanik) die Schildkröte einholen würde. |
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| 27.11.2007, 08:02 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei dieser sehr grundsätzlichen Frage muss ich dir leider widersprechen, tmo, damit sich bei daniel nichts falsches einnistet. @daniel2007 Du hast völlig Recht: Eine Reihe ist definitiv keine Summe. Eine Reihe ist per Definition nichts weiter als eine Folge von Summen, genauer benannt eine Partialsummenfolge. Mitunter identifiziert man den "Reihenwert" mit dem Begriff "Reihe" selbst; darunter versteht man dann den Grenzwert dieser Partialsummenfolge. Diese begriffliche Unsauberkeit "Reihe/Reihenwert" hat sich nun mal eingebürgert, da kann man wenig machen. 
Der Irrtum, eine Reihe als Summe anzusehen, rührt sicher von vielen sehr ähnlichen Rechenregeln für Summe und Reihenwert her. Dass sie aber dennoch keine Summe ist, sieht man an bestimmten Umordnungen der Reihenglieder in konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihen, wo sich der Reihenwert ändern kann. Sowas passiert bei Summen nicht. Dazu noch folgender eher "theoretischer" Aspekt: Eine Summe kann man vom rein algebraischen Standpunkt aus erklären (Gruppe der Addition). Bei einer Reihe kommt noch eine topologische Komponente dazu (Grenzwert). |
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| 27.11.2007, 08:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, dessen war ich mir nicht wirklich bewusst im moment meiner antwort 
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| 27.11.2007, 20:11 | daniel2007 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok danke, ich habe aber noch ein Problem und zwar, wie kann ich erklären dass aus der geometrischen Folge bei dem Problem eine geometrische Reihe enstanden ist ? Sagen wir einmal es wäre die reihe für die Zeit t in der die Schildkröte eingeholt werden soll , in mehere Teilzeiten unterteilt worden also: t1+t2+t3... 10+1+0,1+0,001+0,0001........... Wie kann ich nun sagen, dass das eine Reihe ist und woher kommt die, dahinter steckt doch eine summierung von folgenglieder, einer geometrischen Folge von mit a1 =10 und q = 0,1 oder ??????????? |
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| 28.11.2007, 01:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
So ist es, und zwar ist eine unendliche geometrische Reihe* entstanden. Man kann sagen, dass nun unendlich viele Glieder zu summieren sind. Allerdings muss man sich - streng gesehen - immer vor Augen halten, dass der Grenzwert der Reihe der Grenzwert der Folge der Partialsummen ist. Salopp gesprochen läuft das "im Unendlichen" letztendlich auf das Gleiche hinaus, denn die "letzte" Partialsumme ist die Summe von unendlich vielen Gliedern der Folge. *) mY+ |
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