Symmetrische Gruppe S6 + Normalteiler

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Iljana Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe S6 + Normalteiler
Hallo, ich hänge an einer Aufgabe und weiß nicht weiter.

Ich soll beweisen, dass S6 keine Normalteiler der Ordnung 16 hat. ich finde noch nichtmal eine permutation der ordnung 16!

Dankeschön
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir keiner helfen?
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann allgemein mit verhältnismäßig geringem Aufwand zeigen, dass für jeden nichttrivialen Normalteiler von , , gilt: .

Ansonsten wäre es hilfreich zu wissen, auf was man bei dir zurückgreifen kann.


Gruß, therisen
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du mir vielleicht erstmal erklären, wie ich die Konjugationsklassen von Sn berechne?

Daran scheitert´s bei mir schon. Sind Konjugationsklassen Nebenklassen?

Wie erhalte ich zum Beispiel die Klassen von S3?

Dank Dir?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konjugationsklasse zu einem ist gegeben durch die Menge

Nimm dir z.B. und bilde die Produkte.
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

wie verknüpfe ich dann?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die ganz normale Komposition von Abbildungen.

Beispiel:
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

aber wie beweise ich denn, dass es keine normalteiler der ordnung 16 gibt? das verstehe ich irgendwie nicht. ich steh ein bisschen sehr auf dem schlauch, zumal ich bereits morgen die aufgabe abgeben muss. kann mir jemand helfen?
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

Ich brauche HILFE!
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu der Antwort in dem anderen Thread wenigstens noch etwas klitzekleines fachliches hinzuzufügen: Ich kenn mich nicht mehr so doll mit Algebra aus, aber ich denke der Schlüssel zum Beweis liegt irgendwo in den folgenden Aussagen, welche davon dir schon bekannt sind, weiß ich nicht:

A_n ist Normalteiler von S_n für alle n
A_n ist einfach für n>=5
A_n hat Ordnung 360, kann also insbesondere keine Untergruppe der Ordnung 16 mehr enthalten.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Tomtomtomtom

Zu deiner Erklärung im anderen Thread:

Ich finde es gut und richtig, dass das mal einer so aufgeschrieben hat, es entspricht im wesentlichen auch meiner Meinung - mir zumindest hast du damit jedenfalls nicht auf den Schlips getreten. Augenzwinkern

Ich selbst zähle mich zu deiner zweiten Gruppe der eher angewandten Mathematiker, habe so z.B. über nichtabelsche Gruppen so gut wie keine Ahnung, müsste mich also auch erst mal einlesen, und habe daher bei dieser Frage hier lieber die Klappe gehalten. Zumal sie bei therisen als Algebraiker in sehr guten Händen ist. Wenn nun Iljana statt hier im Thread konkreter zu fragen einfach einen weiteren Thread aufmacht, dann empfinde ich das schon als eine Missachtung gegenüber der bisher geleisteten Hilfe. Und da du richtig eingeschätzt hast, dass Leute mit Erfahrung auf diesem Gebiet dünn gesät sind, und von therisen (oder dir) nun auch nicht verlangt werden kann, immer Gewehr bei Fuß zu stehen, dann muss sich Iljana eben auch mal ein wenig in Geduld üben - so sehe ich das.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grund warum ich hier solange nichts mehr geschrieben habe ist, dass ich auf eine alternative Lösung gehofft hatte, denn mein Lösungsvorschlag ist bei deinem Wissensstand nicht gangbar und vermutlich nicht gewünscht. Zwar ist , aber auf den ersten Blick scheinen einem die Sylow-Sätze nicht wirklich weiterzuhelfen. Es ist ohnehin schwer, eine einfache, auf dich zugeschnittene Lösung zu finden, wenn man nicht weiß, was du bereits in der Vorlesung gelernt hast bzw. haben solltest(!). Wenn man sich wirklich auf elementare Mittel beschränken muss, könnte man folgenden (verhältnismäßig mühsamen) Weg wählen:

Bekanntlich ist ein Normalteiler die Vereinigung von Konjugationsklassen. Es gilt:

1) hat genau Konjugationsklassen.
2) Es gibt genau Konjugationsklassen von mit genau Elementen. Man kann sogar zeigen, dass



die Klassengleichung von ist.

3) Die beiden Konjugationsklassen mit genau Elementen sind





4) Als Untergruppe muss jeder Normalteiler der Ordnung das neutrale Element (die triviale Konjugationsklasse) enthalten.


Gruß, therisen
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Gott, was habe ich da nur ausgelöst...

Aber: Erstmal danke für die Hilfe, und zwar ehrlich! Danke!

@ therisen: Das war super-nett. Aber Du hast mich vor ein paar Tagen aufgefordert, die Konjugationsklassen von h= (1,2) zu bilden. Ich habe das so verstanden, dass die Konjugationsklassen eben die Zykeln von gleicher Länge sind. Wenn ich aber an h= (1,2) alle Elemente konjugiere, dann erhalte ich doch nicht immer einen Zykel der Länge 2, oder?
Das ist mein Problem. Hast Du da eine Erklärung für?

:dance
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann zeigen, und ich hoffe ihr habt das in der Vorlesung getan, dass zwei Permutationen genau dann konjungiert sind, wenn sie den gleichen Zykeltyp haben. Das ist eine bemerkenswerte Eigenschaft, die überdies sehr praktisch ist. Übrigens spielt die kombinatorische Zahlentheorie hierbei eine Rolle: (siehe http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000041)

Das von dir geschilderte Problem kann ich nicht nachvollziehen. Kannst du denn ein Gegenbeispiel finden, das zeigt, dass meine Konjugationsklassen falsch sind? smile
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