Runder Tisch, n Personen, 2n Plätze |
| 27.11.2007, 17:03 | chick0 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Runder Tisch, n Personen, 2n Plätze Ich sitze zurzeit über folgender aufgabe die mich nicht loslässt: Auf wieviele Arten können sich n unterscheidbare Personen an einem Tisch mit 2n Plätzen setzen, wenn zwischen jeder Person ein Platz frei bleiben soll? Als erstes habe ich dafür überlegt, auf wieviele Arten man die Personen so setzen könnte wenn die Plätze unterscheidbar wären.... dies geht meiner meinung nach auf 10*4*3*2*1 bzw. 2*5! Arten, also 240 Arten. Da es sie aber nun um einen runden Tisch handelt, muss ich doch durch 10 teilen, so dass es nur noch 24 arten gibt, oder? Die Frage stellt sich mir, da ich folgendes gelesen habe: http://mathworld.wolfram.com/MarriedCouplesProblem.html Dort werden unten die möglichkeiten nämlich ingesamt als 2*n!*An angegeben. Meiner Meinung nach müssten es jedoch nur (n-1)!*An Arten sein.... Kann mir da jemand helfen? |
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| 27.11.2007, 17:45 | jojo31 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Runder Tisch, n Personen, 2n Plätze hallo chick0, das Problem ist sehr einfach, wenn man kapiert hat, was die Bedingung ausmacht, dass es nicht n Plätze sind, sondern 2n Plätze, worauf sich die n Personen setzen sollen, wobei aber zwischen jeder Person ein Platz frei sein muss. Stell dir im Kontrast dazu einen Tisch vor mit genau n Plätzen. Hier sind die Sitzordnungsmöglichkeiten mit n unterscheidbaren Personen sehr einfach: n! (erster Sitz: n Möglichkeiten, der Sitz daneben: (n-1) Möglichkeiten usw. ...n-ter Sitz: 1 Möglichkeit) Jeder dieser Sitzordnungmöglichkeiten ist projezierbar auf den Tisch mit 2n Plätzen, wobei man nur je einen freien Platz zwischen die Personen einfügen braucht. Man kann erkennen, dass alle Sitzordnungsmöglichkeiten an dem Tisch mit n Plätzen auf die 2n-Tisch-Situation übertragen/projeziert werden können, wobei man der Klarheithalber zuerst immer die gleichen Plätze unbesetzt lässt. Wenn man von Anfang an immer die gleichen Plätze unbesetzt lässt, kann man schnell erkennen, dass es eigentlich exakt genausoviele Möglichkeiten mit dieser Bedingung gibt, die Personen an den 2n-Tischen zu setzen wie an dem n-Tischen. Dann legt man einfach fest, dass die besetzten Plätze in der vorigen Betrachtung die unbesetzten sind und spielt genauso alle Möglichkeiten durch. Genau wieviele Sitzmöglichkeiten sind in dieser Konstellation möglich? 
Jetzt weißt du bestimmt, warum die Antwort von der Seite die richtige ist und nicht deine (n-1)! |
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| 27.11.2007, 17:51 | chick0 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Runder Tisch, n Personen, 2n Plätze das is mir schon klar, wie du das jetz erklärt hast, aber ist dies nicht die lösung für den fall, dass die plätze unterscheidbar sind. => An einem runden tisch sind ja mehrere sitzordnungen gleich. (diejenigen die durch drehung des tisches bzw. durch weiterrutschen einer sitzordnung entstehen) deshalb denke ich dass man durch 10 teilen muss. ist an dieser überlegung etwas falsch? denn ich kann aus der aufgabenstellung der seite nicht erkennen dass die plätze nummeriert sind oder soetwas. |
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| 27.11.2007, 17:53 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
So kurios es klingt: Beide Antworten sind richtig, aber jede für ein separates Problem.
Wenn man von Sitzordnungen an "runden Tischen" spricht, meint man sehr oft, dass Tischordnungen, die durch bloße Drehung ineinander übergehen, als gleich angesehen werden - also hier z.B. im Fall n=4 die Sitzordnungen 1 * 3 * 4 * 2 * und * 2 * 1 * 3 * 4 (* steht für freier Platz). Dann vermindert sich die Anzahl um den Faktor (Anzahl möglicher Drehungen), und schon sind wir bei den . Ist also alles eine Frage der genauen Problemformulierung. 
EDIT: Unsere Beitrage haben sich überschnitten, chick0. Aber jetzt sollte alles klar sein.
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| 27.11.2007, 18:00 | chick0 | Auf diesen Beitrag antworten » |
oke, is klar, dann muss ich bei meiner arbeit wohl beide möglichkeiten erwähnen.... trotzdem vielen dank, es hat mir sehr geholfen, mal eine meinung von einer anderen person zu hören.... merci |
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| 27.11.2007, 18:06 | jojo31 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke Arthur Dent. Musste noch kurz rekapitulieren, warum 2n Drehungen möglich sind ( -> 2n Sitzplätze in unserem Fall). Tja, dann hatte chick0 doch alles richtig gemacht! Sag mal, warum postest du, chick0, Aufgaben, die du schon fertig-gelöst hat? Haha
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| 27.11.2007, 18:15 | chick0 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich wollt halt wissen was sich die leute gedacht haben, die diese aufgabe erstellt haben... weil ich finde dass nach der aufgabenstellung meine lösung die richtige ist ... aber egal, ich werde einfach beide lösungen angeben, und mich so geschickt einer erklärung für eine entscheidung entziehen ^^ |
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