Differentialrechnung Ableitungen

27.11.2007, 19:44	playapfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechnung Ableitungen hallo könnt ihr mir vielleicht einen kleinen Denkanstoss geben?! Ich komme irgendwie nicht weiter. Also folgende Aufgabe: Der Ertrag von einem Unternehmen bei der Herstellung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ Einheiten eines beliebig teilbaren Gutes sei durch die natürliche Logarithmusfunktion $\begin{eqnarray} ln x \end{eqnarray}$ gegeben, der durchschnittliche Ertag wird dann durch die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{lin x}{x} \end{eqnarray}$ dargestellt. Diese funktion wird jetzt im Intervall $\begin{eqnarray} 1 \leq x \leq 12 \end{eqnarray}$ betrachtet Die Ableitungen $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f''(x) \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} f^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x) \end{eqnarray}$ der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ können in der Form $\begin{eqnarray} f^{n} (x)=\frac{an+bn+lnx}{x^{n+1}} \end{eqnarray}$ // das n steht als Index mit gewissen Konsanten an und bn dargestellt werden. Berechnen Sie die ersten vier Ableitungen der funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und geben Sie diese in der genannten Form mit konkrete Werte für an und bn an. Also meine Ableitungen: $\begin{eqnarray} f'(x)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a1+b1lnx}{x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a2+b2lnx}{x^3} \end{eqnarray}$ usw. //die 1 und 2 wieder jeweils als index... Meine Frage: Ich versteh das nicht, was soll ich denn jetzt für a und b einsetzen?
27.11.2007, 20:06	Tarson	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du sollst die 1. bis 4. Ableitung bilden, die sehen dann so aus wie das als Schema vorgegeben ist. Durch Vergleichen der Ableitungen mit dem vorgegebenen Schema bekommst du dann die Konstanten $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ . Viel Erfolg PS: Du bekommst dann für jedes n,also jede Ableitung ein a und ein b als Konstanten raus. Tipp: Möglichst gut kürzen, das vereinfacht das ableiten.
27.11.2007, 20:21	playapfel	Auf diesen Beitrag antworten »
dd $\begin{eqnarray} f'(x) =\frac{\frac{1}{x}x-(lnx)1 }{x^2} =\frac{1-lnx}{x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)= \frac{2lnx-3}{x^3} \end{eqnarray*}$ Es tut mir leid ich versteh das irgendwie nicht. ich hab das ganze mal abgeleitet. aber was sagt mir das jetzt. was muss ich denn mit a und b machen bzw. einsetzen?
27.11.2007, 20:41	Tarson	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Ableitungen scheinen richtig zu sein. Jetzt musst du die nur noch mit den Vorgaben gleichsetzen, das heißt: $\begin{eqnarray} \frac{a_{1}+b_{1}ln(x)}{x^{2}}=\frac{1-ln(x)}{x^{2}} \end{eqnarray}$ usw. Also einen Koeffizienten-Vergleich, dabei musst du beachten, dass x frei wählbar ist, die Gleichung also für alle x stimmen muss. Viel Erfolg
27.11.2007, 21:53	playbirne	Auf diesen Beitrag antworten »
d hallo liebster tarson. schau mal was ich bis jetzt hab..aber irgendwie komm ich wieder nicht weiter $\begin{eqnarray} \frac{a+bln(x)}{x^2} = \frac{1-ln(x)}{x^2} \| x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+bln(x) =1-ln(x) \end{eqnarray}$ \|: $\begin{eqnarray} ln(x)-b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=1-ln(x) \frac{-b}{ln(x)} \end{eqnarray}$ hilfe.. könntest du mir eventuell bei der ersten ableitung helfen ein wenig, damit ich mich bei den anderen ableitungen an irgendwas orientieren kann....
27.11.2007, 22:11	Tarson	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha,ok, mit $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ multiplizieren ist schonmal sehr gut. Schau dir jetzt mal deine zweite Zeile an: Da die Gleichung ja für jedes x gelten soll müssen die einzelnen Summanden übereinstimmen, das heißt a=1 und b=-1. Viel Erfolg
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27.11.2007, 22:47	playbirnchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: d $\begin{eqnarray} a+bln(x) =1-ln(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=1;b=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-1ln(x)=1-ln(x) \end{eqnarray}$ <-----kannst du mir das nochmal erklären warum das so sein muss
27.11.2007, 23:08	Tarson	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also ich würde das so erlären: Wenn zwei Funktionen gleich sein sollen, müssen auch die einzelnen Teile der Funktionen gleich sein. Weil die einzelnen Teilfunktionen sich nicht gegenseitig beeinflussen. Guck am besten aber mal bei Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizientenvergleich Viel Erfolg

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