Begründung warum sich Fktgraphen nicht schneiden

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27.11.2007, 20:01	madde	Auf diesen Beitrag antworten »
Begründung warum sich Fktgraphen nicht schneiden Aufgabe: Geg: f(x): 1/4 * x^4 -1 g(x) = x-3 a) Warum schneiden sich die beiden Graphen nicht? Ich frage mich was hier verlangt wird. Normalerweise wird gefragt ob sich die Geraden schneiden, das setzt man sie gleich, löst die Gleichung nach x, kommt auf den/die Schnittpunkt/e und fertig. Wenn ich das hier mache, komme ich auf x^4 -4x + 8 = 0 Wie rechnet man denn hier weiter, so dass man definitiv sieht, dass es keine Lsg gibt? Oder kann man das auch anders zeigen dass sie die Funktionsgraphen nicht schneiden (ausser dem Schaubild)?
27.11.2007, 20:11	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begründung warum sich Fktgraphen nicht schneiden Zeige analytisch, dass die beiden Funktionen keine gemeinsamen Punkte haben. Setze dafür f(x)=g(x) und führe dies auf einen Widerspruch.
27.11.2007, 20:18	madde	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begründung warum sich Fktgraphen nicht schneiden Hm, also sowas: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} x^{4} -1 = x -3 \end{eqnarray}$ Die linke Seite ist immer grösser als die rechte, => also kann es keinen Schnittpunkt geben. Richtig?
27.11.2007, 21:23	Mathe-Taterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke du solltest einfach versuchen $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}x^{4} - 1 = x + 3 \end{eqnarray}$ nach x aufzulösen, da müsstest du glaube ich Newton anwenden. Und am Ende wirst du wohl feststellen, dass es unmöglich ist, ein x herauszubekommen.
27.11.2007, 21:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
newton wäre ein bisschen übertrieben wegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}x^4-1 \geq -1 \end{eqnarray}$ für alle x und $\begin{eqnarray} x-3 < -1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x < 2 \end{eqnarray}$ , kann es einen schnittpunkt nur für $\begin{eqnarray} x \geq 2 \end{eqnarray}$ geben. zeige nun noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}x^4-1 > x-3 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \geq 2 \end{eqnarray}$ schreibe dazu $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}x^4-1 = \frac{1}{4}x^3 \cdot x -1 \end{eqnarray}$ und benutze $\begin{eqnarray} x^3 \geq 8 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \geq 2 \end{eqnarray}$
27.11.2007, 21:30	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Möglichkeit: Bilde die Differenzfunktion d(x) = f(x)-g(x). Bestimmte die Extremstelle. Du erhälst: Es gibt nur eine, die ist ein Tiefpunkt und dieser liegt überhalb der x-Achse. Da d ganzrational ist, muss d auch stetig sein. Gäbe es also eine Nullstelle von d, so müsste es eine weitere Extremstelle, nämlich einen Hochpunkt, geben, was aber nicht der Fall ist (hast du ja gezeigt). Damit hat d keine Nullstellen, f und g also keinen Schnittpunkt. air
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28.11.2007, 08:45	madde	Auf diesen Beitrag antworten »
@Airblader Genau das habe ich für den nächten Teil der Aufgabe gemacht (Habe ich in meinem Ursprungsposting nicht angegeben). Dort wird die Stelle gesucht, wo sich die beiden Funktionen am wenigsten voneinenander unterscheiden, also die Differenz von f(x) und g(x) am kleinsten ist. Von f(x)-g(x) habe ich die Extremwerte bestimmt, es existiert nur ein Minumum, welches die Stelle angibt wo sich die beiden Graphen am wenigsten voneinander unterscheiden. Im Nachhinein ist mir jetzt auch klar, warum dies als Begründung angesehen werden kann. Danke an dich und auch an die anderen für den analytischen Weg, ist eigentlich sehr einfach wenn man nicht Tomaten auf den Augen hat.
28.11.2007, 08:59	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du meine Methode nimmst, hast du den Vorteil, 2 Fliegen mit einer Klappe zu schlagen Du musst nur aufpassen, dass du vollständig argumentierst, also z.B. nicht vergessen, die Stetigkeit zu erwähnen. Edit: Achja ... ist dir der Argumentationsweg mit dem HP eigentlich klar? air
28.11.2007, 10:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn sowieso die "engste" Stelle zwischen den Graphen zu berechnen ist, dann ist der Weg von Airblader klar erste Wahl. Wenn dagegen nur nachzuweisen ist, dass sich beide Graphen nicht schneiden, geht es elementar (d.h. ohne Differentialrechnung) mit dem Weg von tmo, oder aber auch so: Umgestellt ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}x^4-x+2 > 0 \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nachzuweisen. Sofern man sie findet, ist die Darstellung als Summe von Quadraten eine elegante Möglichkeit: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}x^4-x+2 = \left( \frac{1}{4}x^4 - x^2 + 1 \right) + \left( x^2-x+\frac{1}{4} \right) + \frac{3}{4} = \left( \frac{x^2}{2} - 1 \right)^2 + \left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \end{eqnarray}$ EDIT: Noch besser ist allerdings die Zerlegung $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}x^4-x+2 = \left( \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2} \right) + \frac{5}{4} = \frac{1}{4}(x^2-1)^2 + \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{5}{4} \geq \frac{5}{4} > 0 \end{eqnarray}$ , da man damit auch die Frage nach der engsten Stelle beantworten kann. Es ist also auch elementar vieles möglich, wenn es auch nicht im Fokus des Schulunterrichts steht, wofür ich hier Verständnis habe.
28.11.2007, 14:10	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe meine Methode hauptsächlich deswegen geschrieben, da sie a) in den Schulstoff passt und b) schön kurz ist (und auch nicht unelegant). Eine Ungleichung aufzustellen und nicht mit solch einer Zerlegung zu beweisen würde imho zu lange dauern. Den Extrempunkt zu berechnen geht sehr schnell (da die Ableitung sehr schön wird ) - und grade in der Schule weiß man, dass man Extrempunkte nie umsonst ausrechnen kann Prinzipiell gibt es aber natürlich hunderte Methoden ... air
29.11.2007, 16:56	madde	Auf diesen Beitrag antworten »
@Airblade: Ja, das mit dem Hochpunkt ist mir klar, obwohl ich da jetzt nicht darauf geachtet habe, es ergibt sich aus der Bestimmung der Extremwerte: Man findet nur einen und das ist ein Tiefpunkt, somit gibt es keinen Hochpunkt. Warum d(x) allerdings einen Hochpunkt haben soll, wenn d(x) Nullstellen hätte, ist mir nicht klar. $\begin{eqnarray} d(x) = 0.25 x^4 -x +2 \end{eqnarray}$ Verschiebe ich jetzt d(x) weiter nach unten, so dass die Funktion die x-Achse schneidet, dann hätte ich zwei Nullstellen aber nicht automatisch einen Hochpunkt. $\begin{eqnarray} d(x) = 0.25x^4 -x-4 \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht so ganz worauf du hinaus willst.
29.11.2007, 21:05	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich erkläre es dir: Das Wichtige ist: Du HAST einen Tiefpunkt, und er liegt ÜBER der x-Achse. Das heißt doch, dass die Funktion in einer Umgebung vom TP steigen muss. Wenn es jetzt eine Nullstelle gäbe, dann müsste die Funktion "umkehren", da sie ja fallen muss (zur x-Achse hin). Da die Funktion stetig ist, heißt das, dass sie dann einen Hochpunkt haben MUSS, andernfalls kann sie nicht "umkehren". Verstanden? air
30.11.2007, 20:59	madde	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, jetzt ist es klar, danke nochmal dafür.

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