Ableitung bilden - Seite 2

Neue Frage »

07.12.2007, 17:47

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der zweiten Klammer kommt noch ne 4.
Das heißt du musst die Klammer erst mit 4 multiplizieren

07.12.2007, 18:04

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ja klar Gott

also:

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-4x - (8 - 16x)}{(1+x)^{5} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{(-8 + 12x)}{(1+x)^{5}} \end{eqnarray*}$ ?

07.12.2007, 18:13

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine -4 im Zähler vergessen Augenzwinkern

07.12.2007, 18:25

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

hm also bei dem einen schritt bin ich mir grad nich mehr so sicher, ob ich das nich doch machen kann. also zunächst mach ich aus

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-4(1+x) - (2-4x) 4}{(1+x)^{5}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-4x - (2 - 4x) 4}{(1+x)^{5} } \end{eqnarray*}$

oder warum darf ich die erste klammer des zählers nich ausmultiplizieren?

soweit ok nä? dann mutlipliziere ich die hintere klammer des zählers mit der 4 aus:

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-4x - (8-16x)}{(1+x)^{5} } \end{eqnarray*}$

und übrig bleibt dann doch was ich oben stehen hab, als ergebnis...ich weiß nich welche 4 du meinst. oder es is wieder der wurm drin Big Laugh

07.12.2007, 19:48

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} -4(1+x)=-4-4x\neq-4x \end{eqnarray*}$

07.12.2007, 22:16

s82

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo alle zusammen,
Also ich habe folgenden Lösungsvorschlag!
Zunächst einmal muss mann bei dieser Funktion die Quotientenregel und die Kettenregel(im Nenner) Anwenden.
y=\frac{x^2}{(1+x)^2}= \frac{u}{v}
Quotientenregel:
->y'=\frac{u'*v-u*v'}{v^2}
Zähler abgeleitet:
-> $\begin{eqnarray*} u'=2*x \end{eqnarray*}$
Nenner abgeleitet mit Kettenregel:
-> $\begin{eqnarray*} v=(1+x)^2=a^2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a=1+x \end{eqnarray*}$
->]v' ist äußere Ableitung (dv/da) mal innere Ableitung (da/dx)
dv/da heist v nach a Abgeleitet.
1. Aüßere Funktion ableiten:
-> $\begin{eqnarray*} \frac{dv}{da}=2*a \end{eqnarray*}$
2.Innere Funktion ableiten:
-> $\begin{eqnarray*} \frac{da}{dx}=1 \end{eqnarray*}$
nach der Kettenregel äußere Funktion abgeleitet *innere Funktion abgeleitet ergibt:
->v'=\frac{dv}{dx}= \frac{dv}{da}* \frac{da}{dx}
nun dv/da und da/dx einsetzen ergibt:
->v'=2*a*1=2*(1+x)
jetzt u,u',v und v' in die Quotientenregel einsetzen ergibt:
-> $\begin{eqnarray*} y'=\frac{2*x(1+x)^2-2*x^2(1+x)^2}{(1+x)^4}=2*x* \frac{1-x}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$
Das ist mein Ergebnis!
Verstanden?

07.12.2007, 22:43

s82

Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens um zu f' zu kommen muss man die Produktregel,die Quotientenregel und die Kettenregel Anwenden.
d.h. Die Ableitungen werden immer schwerer!!!!! Freude

08.12.2007, 13:27

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Musti
$\begin{eqnarray*} -4(1+x)=-4-4x\neq-4x \end{eqnarray*}$

ah, danke! Hammer

10.12.2007, 20:43

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von s82
Übrigens um zu f' zu kommen muss man die Produktregel,die Quotientenregel und die Kettenregel Anwenden.
d.h. Die Ableitungen werden immer schwerer!!!!! Freude

danke auch für deine mühen, ich hab mich nich näher mit deinem lösungsweg beschäftigt, fand ihn im ersten momen etwas verwirrend... Augenzwinkern

aber du hast schon recht, is ne recht knackige funktion zum ableiten, find ich auch. geschockt

10.12.2007, 21:35

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit wollte ich nur sagen dass du $\begin{eqnarray*} -4(1+x)=-4-4x \end{eqnarray*}$ - ist und nicht wie du es hattest nur $\begin{eqnarray*} -4x \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

14.12.2007, 16:06

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man den Funktionsterm umformt, sind die Ableitungen nicht schwer zu berechnen. Das Stichwort heißt Partialbruchzerlegung. Man kann den Zähler nämlich leicht als Polynom in $\begin{eqnarray*} 1+x \end{eqnarray*}$ schreiben. Um $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ zu erhalten, wird zunächst $\begin{eqnarray*} (1+x)^2 \end{eqnarray*}$ berechnet:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 \end{eqnarray*}$

Um das störende $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ wegzubekommen, wird $\begin{eqnarray*} 2(1+x) \end{eqnarray*}$ subtrahiert:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^2 - 2(1+x) = 1 + 2x + x^2 - 2 - 2x = x^2 - 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt muß man nur noch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ addieren:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^2 - 2(1+x) + 1 = x^2 \end{eqnarray*}$

Folglich gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{(1+x)^2} = \frac{(1+x)^2 - 2(1+x) + 1}{(1+x)^2} = 1 - 2(1+x)^{-1} + (1+x)^{-2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist Ableiten ein Kinderspiel. Man braucht zwar auch hier für die einzelnen Summanden die Kettenregel, da die Ableitung der inneren Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto 1+x \end{eqnarray*}$ aber gerade $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, ist das vollkommen unproblematisch:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2(1+x)^{-2} - 2(1+x)^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = -4(1+x)^{-3} + 6(1+x)^{-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 12(1+x)^{-4} - 24(1+x)^{-5} \end{eqnarray*}$

usw.

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} n! \cdot 2 \cdot (1+x)^{-(n+1)} + (-1)^{n+2} (n+1)! \cdot (1+x)^{-(n+2)} \, , \ \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$

14.12.2007, 19:01

Alex

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand sagen, ob ich diese Ableitung korrekt gebildet habe?

f(x) = e^3x * sin(e^2x)

u: e^3x | u': 3e^3x
v: sin(e^2x) | v': 2e^2x*cos(e^2x)

f'(x) = (3e^3x) * sin(e^2x) + (e^3x) * 2e^2x*cos(e^2x)

14.12.2007, 19:05

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt böse wäre, würde ich sagen: Leider total falsch!
Da ich aber gerade guter Laune bin, sage ich: So, wie es da steht, ist es falsch, du meinst aber sicher das Richtige.

Um es kurz zu machen: Alle Hochzahlen sind nach ^ in Klammern zu setzen!

14.12.2007, 19:15

Alex

Auf diesen Beitrag antworten »

O.K. Meinst du damit, dass die Ableitung von sin(e^2x) falsch ist? Da muss ich doch die Kettenregel anwenden oder? sin wird zu cos, nur das mit der inneren und äußeren Ableitung nach ich leider nicht drauf. Wie lautet diese korrekt? Wenn ich das wüßte, kann ich auch die Aufgabe besser durchschauen! Die Ableitung von e^3x ist aber richtig. Dannach ist doch die Produktregel anzuwenden f'(x) = u' * v + u * v'.

14.12.2007, 19:18

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

nein er meint damit, dass

e^2x= $\begin{eqnarray*} e^2\cdot x \end{eqnarray*}$ und e^(2x)= $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$

du hast halt die klammern vergessen. sonst ises korrekt.

14.12.2007, 19:33

Alex

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, dann bin ich ja beruhigt, dass das Ergebnis stimmt. In der Klausur schreib ich es dann auf jeden Fall richtig. Danke!

15.12.2007, 22:12

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

finale^^
genau musti! danke für den hinweis, hat ich glatt vergessen und dann übersehen.

aus:

$\begin{eqnarray*} f''' (x) = \frac{-4(1+x) - (2-4x) 4}{(1+x)^{5}} \end{eqnarray*}$

wird also:

$\begin{eqnarray*} f''' (x) = \frac{(-4 - 4x) - (2-4x) 4}{(1+x)^{5}} \end{eqnarray*}$

und das vereinfache ich zu:

$\begin{eqnarray*} f''' (x) = \frac{-6 * 4}{(1+x)^{5}} \end{eqnarray*}$

ich hab dann als ergebnis der 3.ableitung das - hoffentliche richtige - :

$\begin{eqnarray*} f''' (x) = \frac{-24}{(1+x)^{5}} \end{eqnarray*}$

15.12.2007, 22:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: finale^^

Zitat:

Original von zwergenaufstand
ich hab dann als ergebnis der 3.ableitung das - hoffentliche richtige -

Ist nicht richtig (vgl. das richtige Ergebnis aus meinem Beitrag oben). Vermutlich hast du "Punkt vor Strich" mißachtet.

15.12.2007, 22:32

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

das stimmt. der weg ist auch interessant. allerdings stimmen in dem fall auch die erste und zweite ableitung schon nicht überein. ich gehe aber davon aus, dass die bei mir auch richtig sind, bei der unterstützung Augenzwinkern

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung bilden - Seite 2

Verwandte Themen