Integral

28.11.2007, 11:07

Hendrix

Integral

Ich bemühe mich gerade den Wert einer unendlichen Reihe zu ermitteln.
Dabei bin ich auf die Notwendigkeit gestossen folgendes Integral zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{(1-t)^3}{1-t^3}dt \end{eqnarray*}$

Mit dem Ding komme ich leider nicht zurecht und wäre für einen Tipp dankbar.

28.11.2007, 11:19

klarsoweit

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RE: Integral
Du kannst im Nenner (1-t) ausklammern und das rauskürzen. Es stellt sich aber die Frage, wie du überhaupt auf dieses Integral gekommen bist.

28.11.2007, 11:29

Tomtomtomtom

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Das wird etwas länger glaub ich.

Auf jeden Fall schonmal im Nenner (1-t) ausklammern und kürzen. Danach versuchen, den Bruch in drei Teile aufzuspalten:

* einen konstanten Teil (da steht im Zähler ein quadratisches Polynom)
* einen Teil, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist (da steht im Zähler ein linearer Term) -> logarithmische Integration
* einen Teil, in dem im Zähler nur noch eine Konstante steht -> versuche nun im Nenner den Ausdruck so umzuformen, daß du nach einer Substitution die Ableitung des arctan, d.h. 1/(u^2+1) verwenden kannst.

28.11.2007, 11:30

Hendrix

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RE: Integral

Zitat:

Original von klarsoweit
Du kannst im Nenner (1-t) ausklammern und das rauskürzen.

Dann lande ich bei

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{(1-t)^2}{1+t+t^2}dt \end{eqnarray*}$

Leider komme ich auch da nicht weiter.

Zitat:

Original von klarsoweit
Es stellt sich aber die Frage, wie du überhaupt auf dieses Integral gekommen bist.

Bei der Berechnung eines Reihenwertes.

28.11.2007, 11:50

klarsoweit

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RE: Integral
Schreibe: $\begin{eqnarray*} \frac{(1-t)^2}{1+t+t^2} = \frac{t^2-2t+1}{t^2+t+1} = \frac{t^2+t+1-3t}{t^2+t+1} = 1 - \frac{3t}{t^2+t+1} = 1 - 1,5 \cdot \frac{2t}{t^2+t+1} \end{eqnarray*}$

Für das Integral von $\begin{eqnarray*} \frac{2t}{t^2+t+1} \end{eqnarray*}$ formt man weiter um:

$\begin{eqnarray*} \frac{2t}{t^2+t+1} = \frac{2t+1}{t^2+t+1} - \frac{1}{t^2+t+1} \end{eqnarray*}$

Eine Stammfunktion vom ersten Summanden liegt quasi auf der Hand. Beim zweiten Summanden substituierst du $\begin{eqnarray*} t = \frac{\sqrt 3}{2}u - \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Hendrix
Bei der Berechnung eines Reihenwertes.

Das hatte ich verstanden. Etwas mehr Informationen wären auch ganz nett.

28.11.2007, 12:17

Hendrix

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RE: Integral

Zitat:

Original von klarsoweit
...

$\begin{eqnarray*} \frac{2t}{t^2+t+1} = \frac{2t+1}{t^2+t+1} - \frac{1}{t^2+t+1} \end{eqnarray*}$

Eine Stammfunktion vom ersten Summanden liegt quasi auf der Hand. Beim zweiten Summanden substituierst du $\begin{eqnarray*} t = \frac{\sqrt 3}{2}u - \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Super Tipp! Vielen Dank. smile

Damit erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{(1-t)^3}{1-t^3}dt=1+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3\ln(3)}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
Das hatte ich verstanden. Etwas mehr Informationen wären auch ganz nett.

Sorry da war ich vorhin zu faul ...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5\cdot6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8\cdot9\cdot19}+\cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(3n-2)(3n-1)(3n)(3n+1)}=\frac{1}{6}+\frac{\pi}{12\sqrt{3}}-\frac{\ln(3)}{4} \end{eqnarray*}$

28.11.2007, 14:54

Tomtomtomtom

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Interessant. War dir die Funktion, mit deren Hilfe man das rauskriegen kann, als Tipp gegeben, oder bist du selber drauf gekommen? Und wenn ja, wie? Tanzen

28.11.2007, 15:16

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Irgendwo muss hier ein Nest sein:

Potenzreihenentwicklung
Wert einer Reihe

Dieser Aufgabentyp häuft sich hier auffallend in letzter Zeit. smile

28.11.2007, 15:23

Tomtomtomtom

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JA deshalb frag ich ja. Da mich das ein bißchen interessiert, habe ich ein bißchen was über erzeugende Funktionen gelesen, aber ich hab noch keinen Plan, wie ich zu einer Reihe die passende Funktion finde.

28.11.2007, 15:37

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Ich weiß auch nicht, ob es da einen Königsweg gibt. In den genannten drei Threads (inklusive diesem hier) geht es jeweils um Reihen vom "harmonischen Typ" (so würde ich sie mal nennen)

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} \end{eqnarray*}$ ,

da klappt es. Man bastelt jeweils eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) := \sum_{n=1}^{\infty} a_n\frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$

und leitet diese ab

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Je nach Struktur der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ kann man dann diesen Reihenwert (hoffentlich) berechnen - meist als geometrische Reihe. Und dann wird eben wieder integriert...

28.11.2007, 15:42

Hendrix

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Interessant. War dir die Funktion, mit deren Hilfe man das rauskriegen kann, als Tipp gegeben, oder bist du selber drauf gekommen? Und wenn ja, wie? Tanzen

Folgende Identitäten sind bei Reihen dieses Typus nützlich:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1t^{n-1}dt=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1t^{n-1}(1-t)dt=\frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2!}~\int_0^1t^{n-1}(1-t)^2dt=\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3!}~\int_0^1t^{n-1}(1-t)^3dt=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} \end{eqnarray*}$

...

Einsetzen und wohlbegründetes Vertauschen von Integration und Summation bringt Dich auf den Weg...

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