Vektorraum linera unabhängig

28.11.2007, 12:30

hxh

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Vektorraum linera unabhängig

Es sei $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus von V. Wir schreiben $\begin{eqnarray*} f^{i}:= f \circ ....\circ f \end{eqnarray*}$ i-mal . Es gebe $\begin{eqnarray*} v \in V , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} f^{n}(v)\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{n+1}(v) = 0 \end{eqnarray*}$

ZEigen sie, dass $\begin{eqnarray*} v,f(v),f^{2}(v) , ...., f^{n}(v) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig über k sind.

also l.u heisst dass

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} v + \lambda_{2} f(v) + \lambda_{3} f^{2} (v) + .... + \lambda_{n} f^{n} (v) = 0 \end{eqnarray*}$

wird bei einem endomorphismus f(v) = v abgebildet ?

Habt ihr ein tipp wie ich die angaben der Aufgabe irgendwie sinnvoll verwursten kann.

28.11.2007, 19:29

~I();

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Nimm an, dass die $\begin{eqnarray*} v, f(v),...,f^n(v) \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind, dass also $\begin{eqnarray*} \lambda_0,...,\lambda_n \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \lambda_i f^i(v)=0 \end{eqnarray*}$ . Aus der Annahme folgt, dass ein $\begin{eqnarray*} j \in \left\{ 0,...,n \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert. Wähle das $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ minimal und schließe dann von $\begin{eqnarray*} f^j(v) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} f^n(v) \end{eqnarray*}$ . Schon hast du einen Widerspruch.

Gruß
~I();

28.11.2007, 20:01

WebFritzi

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RE: Vektorraum linera unabhängig

Zitat:

Original von hxh
also l.u heisst dass

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} v + \lambda_{2} f(v) + \lambda_{3} f^{2} (v) + .... + \lambda_{n} f^{n} (v) = 0 \end{eqnarray*}$

Nein, son Quark. Linear unabhaengig heisst

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} v + \lambda_{2} f(v) + .... + \lambda_{n} f^{n} (v) = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0. \end{eqnarray*}$

Um das zu zeigen, wende $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} v + \lambda_{2} f(v) + .... + \lambda_{n} f^{n} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ an.

28.11.2007, 20:06

hxh

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ja du hast recht ich hätte das mit den lambda noch dazu schrieben müssen

28.11.2007, 20:19

Leopold

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Du gelobst zwar immer Besserung, machst aber fortwährend denselben Fehler (siehe z.B. hier). Das ist ein starkes Indiz, daß du nicht verstanden hast, was lineare Unabhängigkeit bedeutet. Ich empfehle dir dringend, dich mit diesem zentralen Begriff der Linearen Algebra auseinanderzusetzen, bis du gefressen hast, worum es geht. Fange mit einfachen Beispielen an, etwa: Sind die folgenden Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ linear abhängig oder linear unabhängig?

$\begin{eqnarray*} u = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \, , \ \ w = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2007, 20:33

hxh

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ich tu mich in der Tat schwer damit.
Zu deinem Beispiel Leopold, wenn ich ein Gleichungssystem aufstellen würde, wäre die Lösung, dass diese 3 Vektoren linear abhängig sind.

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28.11.2007, 20:36

Leopold

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Und warum sind sie es?

28.11.2007, 20:41

hxh

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Weil ein Vektor als linearkombination der anderen beiden dargestellt werden kann.

Ich sollte vielleicht sagen, dass man zahlen finden kann dass die gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lambda v + \beta w + \delta u = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt wird

28.11.2007, 20:54

Leopold

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Und wieder fehlt das Entscheidende:

... daß man Zahlen finden kann, die nicht alle zugleich 0 sind, so daß ...

28.11.2007, 21:03

hxh

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Forum Kloppe

Forum Kloppe

( ich habs immerhin so gemeint, im gedanken)

28.11.2007, 21:10

Leopold

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Wenn ich ehrlich sein soll, glaube ich dir nicht so recht. Denn wenn du genau das, worauf es entscheidend ankommt, wegläßt, zeigt das doch, daß du es nicht für so bedeutend hältst. Wenn du aber seine Bedeutung verkennst, sagt das doch nichts anderes, als daß du es nicht verstanden hast.

Wie würdest du begründen, daß drei Vektoren, ähnlich wie in meinem Beispiel, linear unabhängig sind?

28.11.2007, 21:17

hxh

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drei vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn es genau eine Lösung gibt dass die 3 koeffizenten lamda=beta=delta=0 sind

28.11.2007, 21:20

Leopold

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Zitat:

Original von hxh
wenn es genau eine Lösung gibt dass die 3 koeffizenten lamda=beta=delta=0 sind

Der Sinn dieses Satzes erschließt sich mir nicht. Schau einmal in deinem Skript nach, wie lineare Unabhängigkeit definiert ist. Sicher nicht so.

28.11.2007, 21:24

hxh

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ehrlich gesagt haben wir das nirgends ordentlich definiert wie ich gerade sehe

Ok nochmal.

3 Vektoren u,v,w sind genau dann linear unabhängig, wenn die gleichung r*u + t*v + s*w = 0 nur durch r=0 t=0 s=0 erfüllt wird. ist das auch falsch ?

28.11.2007, 22:24

hxh

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RE: Vektorraum linera unabhängig

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von hxh
also l.u heisst dass

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} v + \lambda_{2} f(v) + \lambda_{3} f^{2} (v) + .... + \lambda_{n} f^{n} (v) = 0 \end{eqnarray*}$

Nein, son Quark. Linear unabhaengig heisst

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} v + \lambda_{2} f(v) + .... + \lambda_{n} f^{n} (v) = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0. \end{eqnarray*}$

Um das zu zeigen, wende $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} v + \lambda_{2} f(v) + .... + \lambda_{n} f^{n} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ an.

müsste ich nicht f n-mal auf das ganze anwenden ?

sagen wir im ersten SChritt Wende ich f auf die vektorfamilie an. Dann würde folgern

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} f(v) + \lambda_{2} f^{2} (v) + .... + \lambda_{n} f^{n+1} (v) = 0 \end{eqnarray*}$

und nach aufgabe ist $\begin{eqnarray*} f^{n+1} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ also fällt das raus. Dann verfährt man so weiter bis am ende nur noch dasteht
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} f^{n} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ da ja $\begin{eqnarray*} f^{n} (v) \neq 0 \end{eqnarray*}$ muss daraus folgern , dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ ist . Dann verfahre ich wieder andersrum mit den LAmbdas was mich zum SChluß führt dass alle Lambdas null sein müssen.

29.11.2007, 09:09

klarsoweit

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RE: Vektorraum linera unabhängig

Zitat:

Original von hxh
ehrlich gesagt haben wir das nirgends ordentlich definiert wie ich gerade sehe

Das glaube ich ehrlich gesagt nicht. Man kann schließlich nicht etwas zeigen, was man gar nicht definiert hat. smile

smile

Zitat:

Original von hxh
3 Vektoren u,v,w sind genau dann linear unabhängig, wenn die gleichung r*u + t*v + s*w = 0 nur durch r=0 t=0 s=0 erfüllt wird. ist das auch falsch ?

Das stimmt so.

Zitat:

Original von hxh
da ja $\begin{eqnarray*} f^{n} (v)=0 \end{eqnarray*}$

Falsch. Du meinst vermutlich $\begin{eqnarray*} f^{n} (v) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von hxh
Dann verfahre ich wieder andersrum mit den LAmbdas was mich zum SChluß führt dass alle Lambdas null sein müssen.

Vermutlich meinst du auch hier das richtige, ist aber komisch ausgedrückt.

29.11.2007, 16:35

hxh

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ja sollte ungleich 0 lauten.

was ich meinte ist, dass wenn ich rausbekomme, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=0 \end{eqnarray*}$ DAnn schau ich mir die gleichung davo ran, also $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} f^{n-1} + \lambda_{2} f^{n}=0 \end{eqnarray*}$ da lambda 1 =0 fällt der erste teil weg und ich hab noch das $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} f^{n}=0 \end{eqnarray*}$ . Folgerung wäre lambda2 =0 . Wie im vorherigen Fall auch. So baut man das wieder bis zur ausgangsleichung auf und die Schlußfolgerung ist alle lamdas sind null.

29.11.2007, 18:52

klarsoweit

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So ist es schön erklärt. Freude

Freude

29.11.2007, 21:30

WebFritzi

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@hxh: f n-mal anwenden ist doch das gleiche wie $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ anwenden...

29.11.2007, 21:40

hxh

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Ich hätte dann halt ein Problem zb es würde dann f^(n+2) geben. Gut das kann ich auseinanderziehen. Habs halt so wie ichs geschrieben hab selber raus und versteh das auch.

Ja du schon hast recht , habs eben erst so nach und nach zusammengebaut.

29.11.2007, 22:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von hxh
Ich hätte dann halt ein Problem zb es würde dann f^(n+2) geben.

Na und? Was ist daran so doof?

29.11.2007, 22:30

hxh

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Im Grunde nichts, es ist mir nur im nachhinein aufgefallen, dass es so wohl schneller gewesen wäre

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