Quadrat |
| 28.11.2007, 13:29 | paulbuchhorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Quadrat mich würde folgender Sachverhalt interessieren: Warum ist in einem Quadrat der Flächeninhalt maximal? Das gleiche gilt ja auch bei dem Volumen wenn alle Seiten gleich lang sind. Aber warum ist das so, kennt da jemand zufällig der Erklärung zu? MfG Paul |
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| 28.11.2007, 13:45 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Quadrat Hallo Paul, die Frage, die du gestellt hast, ist eine sehr alte. Die Entdeckung der Optimalität des Quadrates reicht bis in die Antike zurück. Eine Beweisidee (geometrisch) findet sich bereits bei Euklid. Welche Vorkenntnisse darf man erwarten? Ein elementarer Beweis oder ein Beweis der Mittel der Differentialrechnung verwendet? Zur Verständnis des Problems: nimm dir einen Bindfaden fester Länge zwischen beide Hände und lasse die Form des Rechtecks variieren. Nun stelle dir die Frage: Was verändert sich? Das ist eine entscheidende Frage, um sich eine Lösung des Problems zu überlegen. Andersherum kannst du dir das auch mal klarmachen, in dem du in Excel eine Tabelle machst in der Art und Weise: 1. Spalte: erste Rechteckseite, 2. spalte: zweite Rechteckseite. In der dritten Spalte bestimmst du den Flächeninhalt. Die Einträge in der ersten Spalte beginnen mit 1 und gehen bis 20, in der zweiten Spalte entsprechend andersherum von 20 bis 1. Was stellst du fest? Verschoben: Elementarer Schulbeweis. |
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| 28.11.2007, 16:08 | paulbuchhorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, mir ist schon klar, das eine Quadrat das Optimale ist. Aber mir stellt sich die Farge warum das so ist? Welchen Beweis kann man dafür erbringen? MfG Paul |
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| 28.11.2007, 16:15 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Quadrat
Vielleicht fangen wir mal damit an, dass du sagst, was sich bei diesem "Gummifaden" verändert und was nicht? |
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| 28.11.2007, 16:17 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist es ja gar nicht, sondern der Kreis. 
Soll dich nur zart drauf hinweisen, dass saloppe Problemformulierungen so ihre Tücken haben: Bei deiner Formulierung fehlen sowohl der Bezug, dass es nur um Rechtecke geht, als auch dass es um Figuren gegebenen festen Umfangs geht. Vielleicht ist ja auch
die eigentliche Fragestellung? Ich bin kein Hellseher - vektorraum scheint einer zu sein. 
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| 28.11.2007, 16:17 | paulbuchhorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
er "zieht" sich zusammen und geht auseinander. der Flächeninhalt vriiert. |
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| 28.11.2007, 16:19 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach Arthur 
@Paul: Richtig, A ist variabel. Aber natürlich auch die Seiten. Der Umfang bleibt jedoch konstant. Nun, du beantwortest meine Frage nicht. Differentialrechnung, ja oder nein? |
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| 28.11.2007, 16:21 | paulbuchhorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein eher elementar. |
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| 28.11.2007, 16:31 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK, wir wissen, dass u konstant bleibt. Sei x die Länge einer Seite, die wir variieren wollen. Gib dann bitte mal den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von x und dem Umfang an. |
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| 28.11.2007, 17:27 | paulbuchhorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich verstehe nicht ganz. kann gerade nicht den umfang und x zum flächeninhalt verbinden. |
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| 28.11.2007, 17:43 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich doch allgemein durch wenn x und y die Seiten des Rechtecks sind. Jetzt versuche mal y in Abhängigkeit vom Umfang und der Seite x auszudrücken, also etwa so: Dann gehts weiter. |
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| 29.11.2007, 08:01 | paulbuchhorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
morgen, es muss doch dann folgendes sein: A = x (U/2 - x) |
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| 30.11.2007, 11:40 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entschuldige die späte Antwort. der Ansatz ist korrekt. Das ergibt dann also: Nachrechnen! Jetzt überleg dir, wann A maximal ist. Sinnvoll bei der Überlegung ist die Umformung, die ich dort gerade vorgenommen habe. |
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| 02.12.2007, 12:56 | paulbuchhorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, soweit komme ich mit. Bei der Überlegung stehe ich aber gerade voll auf dem Schlauch. |
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| 02.12.2007, 19:52 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Überlege dir, wann A maximal ist? Das ist der Fall, wenn der Ausdruck den kleinstmöglichsten Wert annimmt, also Null wird. Das füht zu . Damit ergibt sich für die andere Dreiecksseite: d.h. das Rechteck ist ein Quadrat. qed. Es gibt natürlich auch andere Beweise. Später wirst du sicherlich auch einen in der Differential- und Integralrechnung kennenlernen. |
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| 03.12.2007, 10:34 | paulbuchhorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo und danke mfg paul |
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