Konvexes Polyeder

28.11.2007, 14:44

*Marissa88

Konvexes Polyeder

Ein konvexes Polyeder werde von x Fünfecken und y Sechsecken begrenzt. Berechnen sie x.

Hier muss ich doch die eulersche Polyederformel anwenden, aber ich hab nix zum einsetzen????

Wer hilft mir?

29.11.2007, 17:53

Abakus

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RE: Konvexes Polyeder
Die Anzahl der Flächen hast du mindestens. Die Anzahl der Kanten eigentlich auch. Nachdenken müsstest du darüber, was bei den Ecken passieren kann.

Grüße Abakus smile

29.11.2007, 18:30

riwe

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RE: Konvexes Polyeder
und so schaut es aus.

zu meinem grenzenlosen erstaunen, kann man x wirklich berechnen unglücklich

y fällt aus der gleichung und $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ siehst du unten

03.12.2007, 11:05

*Marissa88

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Wie komme ich zu der Anzahl der Flächen?
Die Anzahl der Kanten müsste doch

$\begin{eqnarray*} \frac{5x + 6y}{2} \end{eqnarray*}$ sein?

Zu den Ecken: Jede Ecke besteht aus 3 zusammenliegenden Flächen? Daraus ließe sich auch so eine Formel wie oben ableiten oder?

Mein Problem ist, dass ich das ausprobiert habe, aber ich bekomme keine gescheite Zahl für x raus sondern nur eine Gleichung

03.12.2007, 11:17

riwe

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Zitat:

Original von *Marissa88
Wie komme ich zu der Anzahl der Flächen?
Die Anzahl der Kanten müsste doch

$\begin{eqnarray*} \frac{5x + 6y}{2} \end{eqnarray*}$ sein?

Zu den Ecken: Jede Ecke besteht aus 3 zusammenliegenden Flächen? Daraus ließe sich auch so eine Formel wie oben ableiten oder?

Mein Problem ist, dass ich das ausprobiert habe, aber ich bekomme keine gescheite Zahl für x raus sondern nur eine Gleichung

da muß ich mich aber oft verwirrt

1) anzahl der kanten K ist korrekt
$\begin{eqnarray*} K=\frac{5x+6y}{2} \end{eqnarray*}$
2) die anzahl der flächen ist doch gegeben verwirrt

$\begin{eqnarray*} F=x+y \end{eqnarray*}$
3) Ecken $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ : ja deine idee ist richtig

4) wieso bekommst du dann keine gleichung verwirrt

$\begin{eqnarray*} E+F-K=2 \end{eqnarray*}$ ist doch eine unglücklich

03.12.2007, 11:32

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Kombinatorische Denkweisen bereiten vielen erfahrungsgemäß große Schwierigkeitem, vielleicht liegt deshalb hier noch die Lücke:

Jede Kante stößt an genau zwei Ecken - und von jeder Ecke verlaufen genau 3 Kanten (genaugenommen muss das auch noch begründet werden...). Also gilt nach dem Prinzip des doppelten Abzählens

$\begin{eqnarray*} 2K = 3E \end{eqnarray*}$

Das kannst und solltest du noch mit einbeziehen.

03.12.2007, 12:09

*Marissa88

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Okay, also setze ich dann in die Formel e - k + f = 2 ein und bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x + 6y}{3} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{5x + 6y}{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x + y \end{eqnarray*}$ = 2

Dann einfach nach nach x auflösen?
Ich probiers mal...

03.12.2007, 12:16

*Marissa88

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x = 12 - 26y ?

Damit ist x doch nicht berechnet oder? verwirrt

Ich steh grad wirklich aufm Schlauch ...

03.12.2007, 12:42

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Zitat:

Original von *Marissa88
Okay, also setze ich dann in die Formel e - k + f = 2 ein und bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x + 6y}{3} - \frac{5x + 6y}{2} + x + y = 2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist richtig (hab nur mal ein wenig das LaTeX korrigiert), die Auflösung aber nicht. Rechne nochmal in Ruhe nach.

03.12.2007, 13:37

*Marissa88

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Ich habs jetzt paarmal durchgerechnet. Komme aber immer wieder auf das gleiche Ergebnis oder auf

$\begin{eqnarray*} x= -12y +12 \end{eqnarray*}$

Das kann ja auch nur falsch sein verwirrt

Irgendeinen Tipp was ich besonders beachten muss?

03.12.2007, 13:41

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Herrje - ich kann mir gut vorstellen, dass du irgendeinen Vorzeichenfehler begehst, sowas wie

$\begin{eqnarray*} -(5x+6y) \stackrel{???}{=} -5x+6y \end{eqnarray*}$

oder ähnliches... richtig gerechnet kommt auf alle Fälle schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} x=12 \end{eqnarray*}$

raus.

03.12.2007, 14:04

riwe

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Zitat:

Original von *Marissa88
Okay, also setze ich dann in die Formel e - k + f = 2 ein und bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x + 6y}{3} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{5x + 6y}{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x + y \end{eqnarray*}$ = 2

Dann einfach nach nach x auflösen?
Ich probiers mal...

auf gemeinsamen nenner bringen ist allerdings schon sehr schwer unglücklich

$\begin{eqnarray*} 10x+12y-15x-18y+6x+6y=12 \end{eqnarray*}$

woraus nach arthur dent und adam riese folgen sollte

$\begin{eqnarray*} x=12 \end{eqnarray*}$

was du auch in meinem 1. bilderl abzählen hättest können unglücklich

arthur:
genügt es als "begründung", die winkel bzw. winkelsumme in 5- bzw. 6-eck zu betrachten?

03.12.2007, 14:13

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Zitat:

Original von riwe
genügt es als "begründung", die winkel bzw. winkelsumme in 5- bzw. 6-eck zu betrachten?

Es ist völlig klar, dass die Winkelsumme der an einer Polyederecke anliegenden Innenwinkel aus den an diese Ecke angrenzenden Seitenflächen echt kleiner als 360° sein muss.

Wenn - wovon ich mal ausgehe - die hier angesprochenen Fünf- und Sechsecke sämtlich regulär sein sollen, dann ist wegen $\begin{eqnarray*} 4\cdot 108^{\circ} > 360^{\circ} \end{eqnarray*}$ klar, dass maximal drei - und damit genau drei - Flächen an jeder Polyederecke zusammentreffen können.

Besteht allerdings nicht die Voraussetzung der Regularität, dann zieht dieses Argument allerdings nicht mehr - ich sehe jetzt auf die Schnelle auch nicht, ob die Argumentation und selbst das Ergebnis x=12 dann noch stimmt... verwirrt

03.12.2007, 14:29

riwe

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von regulären polyedern bin ich ausgegangen.

danke schön
werner

03.12.2007, 15:00

*Marissa88

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Hab tatsächlich andauernd statt eines - ein + Vorzeichen verwechselt. Hab die Lösung jetzt auch.
Vielen dank für die Hilfe Freude

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