Nochmal Funktionenfolge

20.04.2005, 19:49

nafets

Nochmal Funktionenfolge

Hallo zusammen,

folgendes ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} f_{n}: [0, \infty)\rightarrow \mathbb R, f_{n}(t)=n^{\lambda}te^{-nt} \end{eqnarray*}$
Die Grenzfunktion ist ja wohl 0, da die e-Funktion jede Potenz erschlägt (werde den genauen Wortlaut dann nochmal im Skript nachschauen ;-) ).
Jetzt muss ich folgendes nachweisen:
$\begin{eqnarray*} \mid f_{n}(t) - f(t)\mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
Dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} \mid n^{\lambda}te^{-nt}\mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
Und jetzt? Wie löse ich denn hier nach n auf, oder mit was kann ich abschätzen?

Danke im Voraus,

Stefan

20.04.2005, 20:11

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RE: Nochmal Funktionenfolge

Zitat:

Original von nafets
Jetzt muss ich folgendes nachweisen:
$\begin{eqnarray*} \mid f_{n}(t) - f(t)\mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Immer diese Schlampigkeit. Ich nehme an, du sollst Konvergenz der Funktionenfolge zeigen. Dann musst du nachweisen, dass für gegebenes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ existiert, so dass

$\begin{eqnarray*} \mid f_{n}(t) - f(t)\mid < \varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt. Sollst du sogar gleichmäßige Konvergenz nachweisen, dann darf dieses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ zwar von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , aber nicht von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängen. Bei punktweiser Konvergenz dagegen wird diese letzte Forderung nicht erhoben, d.h., dort darf das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ auch von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängen.

Was du also machen musst, ist so ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ finden!

20.04.2005, 20:17

Mathespezialschüler

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Zur mathematischen Genauigkeit siehe Arthurs Beitrag.
Eine Idee für die gleichmäßige Konvergenz:
Berechne die (positive) Maximalstelle jedes Funktionfolgeglieds $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , zeige, dass es das globale Maximum ist und berechne den Maximalwert. Falls du den Satz kennst, dass gleichmäßige Konvergenz nichts anderes als Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm ist, kannst du diesen jetzt direkt anwenden. Dass der Maximalwert beliebig klein wird, ist nämlich klar mit dem Argument, dass du oben schon gegeben hast dafür dass die Funktion selbst gegen 0 geht. Wenn du den Satz nicht kennst, schätze für jedes n dann $\begin{eqnarray*} f_n(t) \end{eqnarray*}$ durch diesen Maximalwert nach oben ab. (Du beweist dann sozusagen die eine Richtung des Satzes für deinen speziellen Fall hier.)

20.04.2005, 21:16

nafets

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Okay,

das mit der Schlamperei tut mir leid. Dann hätte ich noch eine kleine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq1}\sin(t/n)^{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [-a, a], a > 0 \end{eqnarray*}$ .
Da soll ich auch gleichmäßige Konvergenz zeigen. Welches Kriterium würdet ihr mir denn ans Herz legen?

Danke im Voraus,

Stefan

20.04.2005, 21:43

Mathespezialschüler

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Meinst du

$\begin{eqnarray*} g_n(t)=\sum_{n=1}^\infty~\sin\left(\left(\frac{t}{n}\right)^2\right) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} g_n(t)=\sum_{n=1}^\infty~\sin^2\left(\frac{t}{n}\right) \end{eqnarray*}$

??

20.04.2005, 22:05

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@MSS

Letztendlich ist das wegen des gleichen Verhaltens für große n, genauer gesagt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(n^2\sin\frac{t^2}{n^2}\right) = \lim\limits_{n\to\infty} \left(n^2\sin^2\frac{t}{n}\right)=t^2 \end{eqnarray*}$

sogar egal. Augenzwinkern

20.04.2005, 22:39

Mathespezialschüler

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Richtig, is mir auch aufgefallen. Insbesondere kommt man für beide Reihen mit der gleichen "Majorante" aus. Es gilt nämlich der einfach zu beweisende Satz:

Wenn für alle natürlichen n und alle $\begin{eqnarray*} t\in X \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} |g_n(t)|\leq c_n \end{eqnarray*}$ ist und die Zahlenreihe $\begin{eqnarray*} \sum~c_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum~g_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf X.

Und hier gilt ja (egal, welche Reihe es nun ist) wegen $\begin{eqnarray*} |\sin x|\leq |x| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |g_n(t)|\leq \frac{|t|^2}{n^2}\leq \frac{a^2}{n^2}=: c_n \end{eqnarray*}$

und dass $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dürfte allgemein bekannt sein.
Ich seh grad, dass man diese Abschätzung ja auch schon in Arthurs Gleichung in Ansätzen sieht. Augenzwinkern

23.04.2005, 14:58

nafets

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Dankeschön,

genauso hat's die Tutorin dann auch gerechnet.

Gruß,

Stefan

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