Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

28.11.2007, 20:17	pressure	Auf diesen Beitrag antworten »
Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Hallo Ich versuche die numerische Lösung einer Differantialgleichung mittels Runge-Kutta-Verfahren. Es geht um die Bewegung von Ladungen im elektrischen und magnetischen Feld. Dazu habe ich versucht einen Algorithmus mit hilfe des Runge-Kutta-Nyström-Verfahrens 4. Ordnung aufzustellen. Rausgekommen ist folgendes ( Es wäre nett, wenn ihr mir sagen könntet ob dies so machbar ist): Runge-Kutta-Nyström-Verfahren 4. Ordnung: $\begin{eqnarray} \vec{r}(t_0) = \vec{r}_0 \ , \ \ v(t_0) = \dot{r}(t_0) = \vec{v}_0 \ , \ \ \vec{a}(t,\vec{r},\dot{\vec{r}}) = \ddot{\vec{r}}(t,\vec{r},\dot{\vec{r}}) = \frac{q}{m} [\vec{E}(\vec{r},t) + \dot{\vec{r}} \times \vec{B}(\vec{r},t)]; \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{r}_{n+1} = \vec{r}_n + \vec{v}_n \cdot \Delta t + \frac{\Delta t}{3}(k_1+k_2+k_3) \ , \ \ t_{n+1} = t_{n} + \Delta t; \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v}_{n+1} = \vec{v}_n + \frac{1}{3}(k_1+2k_2+2k_3+k_4) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k_1 = \frac{\Delta t}{2} \cdot \vec{a}(t_n , \vec{r}_n ,\vec{v}_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_2 = \frac{\Delta t}{2} \cdot \vec{a}(t_n+\frac{\Delta t}{2} , \vec{r}_n + \frac{\Delta t}{2} \vec{v}_n + \frac{\Delta t}{4}k_1,\vec{v}_n + k_1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_3 = \frac{\Delta t}{2} \cdot \vec{a}(t_n+\frac{\Delta t}{2} , \vec{r}_n + \frac{\Delta t}{2} \vec{v}_n + \frac{\Delta t}{4}k_1,\vec{v}_n + k_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_4 = \frac{\Delta t}{2} \cdot \vec{a}(t_{n+1}, \vec{r}_n + \Delta t \ \vec{v}_n + \Delta t \ k_3,\vec{v}_n + 2 k_3) \end{eqnarray}$ Jetzt stellt sich für mich die Frage wie ich den Fehler abschätzen kann ? Ich hab gelesen, dass dieser im Bereich von $\begin{eqnarray} \Delta t^5 \end{eqnarray}$ liegt. Habe ich dann für n Iterationsschritte einen möglichen Fehler von $\begin{eqnarray} n \cdot \Delta t^5 \end{eqnarray}$ ?

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