Sin, cos -- linear unabhängig?!

28.11.2007, 20:51

hmer

Sin, cos -- linear unabhängig?!

Hallöchen.

Ich weiß nicht, ob ich jetzt ein grundlegendes Verständnisproblem habe, aber irgendwie ist mir incht ganz klar, was ich zeigen bzw. machen soll bei dieser Aufgabe:

Es sei C(R) der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}- \end{eqnarray*}$ Vektorraum aller stetigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}. \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie:

(1) Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f, g, h \in C(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 -cos x - sin x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = 1 - cos 4x \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h(x) = sin 3x \end{eqnarray*}$
sind in C( $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) linear unabhängig.

und

(2) Die Menge der Funktionen $\begin{eqnarray*} \{ sin(jx) | j \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray*}$ ist in C(R) linear unabhängig..

Zu (1) hätte ich gesagt, dass ich im "normalen" Fall mir eben anschaue, ob für $\begin{eqnarray*} k_1, k_2, k_3 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , aus:

$\begin{eqnarray*} k_1 f(x) + k_2 g(x) + k_3 h(x) = 0 \Rightarrow k_1 = k_2 = k_3 = 0 \end{eqnarray*}$ . Aber das hängt ja quasi jetzt immer von dem x auch ab, oder? Für x = 0, ist das z.B. erfüllt, und die $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ müssen da nicht 0 sein.

Aber ich nehme an, das muss für alle x so sein, oder? Brauch ich da nur zwei Werte von x nehmen, wo ich einmal nicht zwingend finde, dass die k_i = 0 sind und ein anderes Beispiel, wo die k_i = 0 sein müssen?

Irgendwie muss ich bei diesen Formel an so Additionstheoreme oder ähnliches denken, ich weiß aber nun nicht, ob ich da nicht zu kompliziert denke.

Auch bei (2) stellt sich doch die Frage, denn diese Menge hat ja unendlich viele Elemente. Muss ich da eine "Teilmenge" nehmen, also irgendeine Teilmenge der Mächtigkeit n, wobei n beliebig ist?

Und dann für diese endliche Menge zeigen, dass alle diese Funktionen von 1 bis n linear unabhängig sind. Das hört sich irgendwie machbar an, aber...naja, wie soll das praktisch funktionieren -- per Induktion?

Grüße und dank für die Hilfe
hmer

28.11.2007, 21:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichheit von Funktionen!
Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie denselben Definitions- und Zielbereich haben und für jedes Argument die Funktionswerte übereinstimmen. Beachte, daß du verlangst:

$\begin{eqnarray*} k_1 f + k_2 g + k_3 h = 0 \end{eqnarray*}$

Rechts steht hier nicht die Zahl $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , sondern die Nullfunktion. Es muß also

$\begin{eqnarray*} (k_1 f + k_2 g + k_3 h)(x) = 0(x) \ \ \mbox{für alle} \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

gelten. Gemäß der Definition der Addition und skalaren Multiplikation bei Funktionen und weil $\begin{eqnarray*} 0(x) = 0 \end{eqnarray*}$ (rechts steht hier die Zahl $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ) ist, heißt das:

$\begin{eqnarray*} k_1 f(x) + k_2 g(x) + k_3 h(x) = 0 \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Und weil das für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt, gilt es auch für spezielle. Wähle geschickt verschiedene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus, so daß die trigonometrischen Funktionen schöne Werte liefern. Du bekommst dann Bedingungen für $\begin{eqnarray*} k_1,k_2,k_3 \end{eqnarray*}$ , die alle erfüllt sein müssen.

28.11.2007, 21:59

hmer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Gut ich glaube ich sehe was zu im ersten Teil zu tun gilt.

Ich suche mir drei Werte für x, wo die jeweiligen Funktionen mir schöne Werte zurückliefern.

Da es ja stets gleich 0 sein soll, erhalte ich daraus drei Bedingungen für die k_i und werde dann merken, dass etwa die erste Bedingung ist $\begin{eqnarray*} k_3 = 0. \end{eqnarray*}$

Das setze ich in die anderen ein, und finde heraus, dass dafür auch $\begin{eqnarray*} k_1 = 0 und k_2 = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Für dieses Resultat muss ich nur drei mögliche Werte von x betrachten, ich seh, dass schon allein für diese drei Werte von x herauskommen muss, dass $\begin{eqnarray*} k_1 = k_2 = k_3 = 0. \end{eqnarray*}$

So hab ich das zumindest hier auf dem Papier ausgerechnet.

Was sagst du zum zweiten Teil? Hier kann ich ja nicht einfach irgendwelche Werte von x wählen, oder ist die Strategie die gleiche?

Grüße und dank
hmer

29.11.2007, 08:29

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare Unabhängigkeit für eine unendliche Menge von Funktionen ist ja gleichbedeutend mit linearer Unabhängigkeit für jede endliche Teilmenge. Da lineare Unabhängigkeit beim Verkleinern einer Menge erhalten bleibt, genügt es, für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ aus der Relation

$\begin{eqnarray*} \sum_{\nu=1}^n \lambda_{\nu} \sin(\nu x) = 0 \ \ \text{mit Skalaren} \ \lambda_{\nu} \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_n = 0 \end{eqnarray*}$ zu schließen. Prinzipiell könnte man jetzt für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konkrete Werte einsetzen, um mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems für die $\begin{eqnarray*} \lambda_{\nu} \end{eqnarray*}$ die gewünschte Folgerung ziehen zu können. Das dürfte rechnerisch aber schwer handhabbar sein. Es lohnt sich daher, in diese Aufgabe mehr Analysis zu investieren, um den Rechenaufwand klein zu halten. Die $\begin{eqnarray*} \lambda_{\nu} \end{eqnarray*}$ sind ja die Fourierkoeffizienten des trigonometrischen Polynoms auf der linken Seite der Gleichung. Jetzt gibt es aber eine Integralformel, wie man die Fourierkoeffizienten einer Funktion (es ist ja die Nullfunktion, siehe rechte Seite der Gleichung) aus dieser berechnen kann. Wenn du diese Formel kennst, ist die Aufgabe bereits gelöst, denn alle $\begin{eqnarray*} \lambda_{\nu} \end{eqnarray*}$ müssen aufgrund dieser Formel verschwinden. Wenn du diese Formel nicht kennst, mußt du sie für den konkret vorliegenden Fall beweisen. Dazu multiplizierst du für ein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq \mu \leq n \end{eqnarray*}$ die Gleichung oben mit $\begin{eqnarray*} \sin(\mu x) \end{eqnarray*}$ und integrierst von $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Dabei bleibt die rechte Seite 0. Verwende links

$\begin{eqnarray*} \int_{- \pi}^{\pi} \sin(\mu x) \sin(\nu x)~\mathrm{d}x = \pi \delta_{\mu \nu} \end{eqnarray*}$

worin $\begin{eqnarray*} \delta_{\mu \nu} \end{eqnarray*}$ das Kronecker-Symbol bezeichne. Die Integration erfolgt am einfachsten über die trigonometrische Beziehung

$\begin{eqnarray*} \sin s \cdot \sin t = \frac{1}{2} \left( \cos(s-t) - \cos(s+t) \right) \end{eqnarray*}$

29.11.2007, 15:39

hmer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hui :-)

Ich weiß noch nicht mal, was ein Integral ist...oder sollte es noch nicht wissen.

Ich überlege mir nun, ob ich das wohl auf den "komplizierten" Weg machen soll, so ähnlich wie im ersten Teil. Also ich suche mir z.B. die x so geschickt, dass sie vielfache von pi/2 oder so sind...

Gibts da ne Möglichkeit mit ableiten, das darf ich naja...mehr oder minder, schon...

Grüße
Hmer

29.11.2007, 22:09

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du wenigstens schon ableiten darfst, habe ich einen Vorschlag fuer dich.

1.) Leite deine Gleichung zweimal ab.
2.) Teile die abgeleitete Gleichung durch n^2
3.) Addiere diese neue Gleichung zu der Ausgangsgleichung
4.) Wende an, dass du die Aussage schon fuer (n-1) kennst (Induktion).

30.11.2010, 18:19

qp4

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sin, cos -- linear unabhängig?!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} k_1 f(x) + k_2 g(x) + k_3 h(x) = 0 \Rightarrow k_1 = k_2 = k_3 = 0 \end{eqnarray*}$ . Aber das hängt ja quasi jetzt immer von dem x auch ab, oder? Für x = 0, ist das z.B. erfüllt, und die $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ müssen da nicht 0 sein.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} k_1 f(x) + k_2 g(x) + k_3 h(x) = 0 \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Und weil das für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt, gilt es auch für spezielle. Wähle geschickt verschiedene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus, so daß die trigonometrischen Funktionen schöne Werte liefern. Du bekommst dann Bedingungen für $\begin{eqnarray*} k_1,k_2,k_3 \end{eqnarray*}$ , die alle erfüllt sein müssen.

"Spezielle x" heißt für mich z.B. auch x gleich null. Dann verschwindet die gesamte Gleichung. In diesem Fall könnte ich also meine $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ doch beliebig verschieden von null wählen und die Bedingung $\begin{eqnarray*} k_1 f(x) + k_2 g(x) + k_3 h(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist trotzdem erfüllt.

Anders formuliert, ich wähle $\begin{eqnarray*} x_1=\Pi/2, x_2=\Pi, x_3=0 \end{eqnarray*}$ und erhalte zwei Gleichunge mit drei Unbekannten, da für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ die letzte Gleichung verschwindet. Demnach wären dann die Funktionen linear abhängig.

Wo liegt mein Denkfehler?

Vielen Dank

Neue Frage »

Antworten »

Sin, cos -- linear unabhängig?!

Verwandte Themen