Delta-Operator und maßerzeugende Funktionen

29.11.2007, 11:32	kart	Auf diesen Beitrag antworten »
Delta-Operator und maßerzeugende Funktionen Ich hätte auch mal eine Frage zum Delta-Operator: Wenn ich eine Funktion $\begin{eqnarray} F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ habe, dann ist er ja so definiert: $\begin{eqnarray} (\Delta_h^{(k)}F)(\vec{x}) = F(x_1,\dots,x_{k-1},x_k+h,x_{k+1},\dots,x_n) - F(\vec{x}) \end{eqnarray}$ Aber was mache ich jetzt, wenn ich eine Funktion $\begin{eqnarray} G:\mathbb{R}^{n_1 +\dots + n_m} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ habe mit $\begin{eqnarray} G(\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_m)=\prod_{i=1}^m F_i(\vec{x}_i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \vec{x}_i \in \mathbb{R}^{n_i} \end{eqnarray}$ habe? Wie wende ich denn den Delta-Operator darauf an? Ich soll nämlich zeigen, dass G ein Maß erzeugt, wenn die F_i ein Maß erzeugen, also $\begin{eqnarray} \forall_i: F_i:\mathbb{R}^{n_i} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Die Stetigkeit ist klar, aber bei dem Delta-Operator komme ich nicht weiter. Sind die h's dann Vektoren? Also $\begin{eqnarray} (\Delta_{\vec{h}_1}^{(1)} \hdots \Delta_{\vec{h}_m}^{(m)} G)(\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_m) \end{eqnarray}$
29.11.2007, 12:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es sind Vektoren. Natürlich musst du den so verwendeten Delta-Operator $\begin{eqnarray} \Delta_{\vec{h}_i}^{(i)} \end{eqnarray}$ noch erklären, als Hintereinanderausführung von insgesamt $\begin{eqnarray} n_i \end{eqnarray}$ einfachen Delta-Operatoren (mit reellen $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ), wie du sie oben definiert hast. Aber das hast du ja vielleicht schon getan, nur nicht hier erwähnt.
29.11.2007, 16:07	kart	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. So als Hintereinanderausführung hatte ich es gedacht. Aber jetzt habe ich doch noch ein Problem mit der Aufgabe. Und zwar wollte ich einfach so anfangen: Da die F_i ja schon ein Maß erzeugen gilt: $\begin{eqnarray} 0 &\leq& \prod_{i=1}^m \Delta_{h_1}^{(1)} \hdots \Delta_{h_{n_i}}^{(n_i)} F_i(\vec{x}_i)\\&=& \prod_{i=1}^m \sum_{\varepsilon_1 \dots \varepsilon_{n_i} \in \{0;1\}^{n_i}} (-1)^{\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_{n_i}} \cdot F_i(x_{i_1} + (1-\varepsilon_1),\dots,x_{i_{n_i}}+(1-\varepsilon_{n_i})) \end{eqnarray}$ Hier komme ich nicht weiter. Ich muss jetzt ja irgendwie $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ wieder ins Spiel bringen - nur wie mache ich das?
29.11.2007, 16:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt, ich sehe die Aufgabe als ziemlich klar, fast banal an: Es geht um die Maße von $\begin{eqnarray} (n_1+\cdots+n_m) \end{eqnarray}$ -dimensionalen Quadern, wo die Koordinatenachsen irgendwie geeignet gruppiert werden - mathematisch passiert da nichts wirklich Spannendes. Die einzige Gefahr ist, sich im Bezeichnungssumpf zu verirren. Aber da musst du selbst mal ordentlich kämpfen, durch sowas muss jeder Mathestudent (?nehme ich mal an?) wohl irgendwann mal durch.
29.11.2007, 21:41	kart	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, intuitiv kam mir die Aufgabe auch erst ganz einfach vor... Könntest du mir vielleicht noch einen kleinen Tipp geben: Ich habe von der anderen Seite her angefangen zu rechnen und habe folgendes erhalten: $\begin{eqnarray} \sum_{(\varepsilon_{1_1},\dots,\varepsilon_{m_{n_m}}) \in \{0;1\}^{n_1+\dots+n_m}} (-1)^{\varepsilon_{1_1} + \dots + \varepsilon_{m_{n_m}}} \prod_{i=1}^m F_i(x_{i_1} + (1 - \varepsilon_{i_1})h_{i_1}, \dots, x_{i_{n_i}} + (1-\varepsilon_{i_{n_i}} h_{i_{n_i}}) \end{eqnarray}$ Ich müßte jetzt also das aus diesem Beitrag mit dem aus dem oberen (wo ich übrigens die h_i vergessen habe) vereinbaren. Wie kann ich denn nun Produkt und Summe "vertauschen"?

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