Trägheitsmoment eines Volltorus

29.11.2007, 16:22	r4nt4npl4n	Auf diesen Beitrag antworten »
Trägheitsmoment eines Volltorus Hi Leute Aufgabe Das Trägheitsmoment $\begin{eqnarray} \theta_{z}(A) \end{eqnarray}$ einer kompakten Menge $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ um die z-Achse ist durch $\begin{eqnarray} \theta_{z}(A) := \int_{A} (x^{2}+y^{2}) d\lambda^{3}(x,y,z) \end{eqnarray}$ definiert. Berechnen Sie das Trägheitsmoment $\begin{eqnarray} \theta_{z}(T) \end{eqnarray}$ des Volltorus $\begin{eqnarray} T \subset \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ , der durch Rotation der Kreisscheibe $\begin{eqnarray} D:= \{ (x,y,z) \in \mathbb R^{3} : y=0 ~und~ (x-R)^{2} + z^{2} \le r^{2}\} \end{eqnarray}$ ensteht, wobei $\begin{eqnarray} 0<r<R \end{eqnarray}$ . Sooo mein problem bei dieser Aufgabe sind die Grenzen über die ich integriere. Das integrieren an sich durch fubini etc. dürfte kein problem darstellen. Kann mir jemand erklären, welche Grenzen ich wählen muss? lg
29.11.2007, 21:58	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trägheitsmoment eines Volltorus Hi, geh doch über zu Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray} (\rho, \varphi, z) \end{eqnarray}$ , die sind bei sowas oft sinnvoll. Den Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \rho=\rho(z) \end{eqnarray}$ , kriegst du aus der Kreisgleichung (siehe Bild). $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ läuft von $\begin{eqnarray} -r \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} +r \end{eqnarray}$ , wie man sieht. Dementsprechend intgrierst du "innen" (also zuerst) über $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ und außen über $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . cst
30.11.2007, 13:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es liegt nahe, für den Torus $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ "natürliche Koordinaten", wie sie durch die Rotation einer Kreisscheibe um eine Achse entstehen, einzuführen. Zunächst hat man in der $\begin{eqnarray} xz \end{eqnarray}$ -Ebene eine Kreisscheibe um $\begin{eqnarray} (R,0) \end{eqnarray}$ vom Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} 0 < r < R \end{eqnarray}$ ). Sie kann durch $\begin{eqnarray} x = R + u \cos v \, , \ \ z = u \sin v \ \ \text{mit} \ \ u \in [0,r] , \, v \in [0,2 \pi] \end{eqnarray}$ parametrisiert werden. Jetzt denkt man sich einen Punkt der Kreisscheibe, durch ein Paar $\begin{eqnarray} (u,v) \end{eqnarray}$ bestimmt, fest gewählt und läßt ihn um die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse rotieren (seine $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Koordinate ist der Radius des Rotationskreises, seine $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Koordinate bestimmt den $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Wert des Mittelpunktes des Rotationskreises). Man findet so die Substitution $\begin{eqnarray} x = \left( R + u \cos v \right) \cdot \cos w \, , \ \ y = \left(R + u \cos v \right) \cdot \sin w \, , \ \ z = u \sin v \ \ \text{mit} \ \ (u,v,w) \in T^{} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T^{} = [0,r] \times [0,2 \pi] \times [0,2 \pi] \end{eqnarray}$ Man berechnet für den Betrag der Funktionaldeterminanten: $\begin{eqnarray} \left\| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right\| = u \left( R + u \cos v \right) \end{eqnarray}$ und weiter: $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = \left( R + u \cos v \right)^2 \end{eqnarray}$ Folglich gilt: $\begin{eqnarray} \int_T~\left( x^2 + y^2 \right)~\mathrm{d}(x,y,z) = \int_{T^{}}~u \cdot \left( R + u \cos v \right)^3~\mathrm{d}(u,v,w) \end{eqnarray}$ Mit einem CAS habe ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \pi R r^2 \left( 4R^2 +3 r^2 \right) \end{eqnarray*}$ als Ergebnis bekommen. Siehe auch hier.

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